Для нахождения корня уравнения x³ - 10x + 1 = 0 методом бисекции, следуем следующим шагам:

Сначала определим функцию:

f(x) = x³ - 10x + 1

Подставим границы интервала (0, 1) в функцию:

• f(0) = 0³ - 10 * 0 + 1 = 1
• f(1) = 1³ - 10 * 1 + 1 = 1 - 10 + 1 = -8

Так как f(0) > 0 и f(1) < 0, то по теореме Больцано в интервале (0, 1) существует хотя бы один корень.

Теперь будем применять метод бисекции. Для этого делим интервал пополам и проверяем знак функции в середине:

• Находим середину: c = (0 + 1) / 2 = 0.5
• Вычисляем f(0.5): f(0.5) = (0.5)³ - 10 * (0.5) + 1 = 0.125 - 5 + 1 = -3.875

Поскольку f(0) > 0 и f(0.5) < 0, то корень находится в интервале (0, 0.5).

Теперь повторим процесс для нового интервала (0, 0.5):

• Находим новую середину: c = (0 + 0.5) / 2 = 0.25
• Вычисляем f(0.25): f(0.25) = (0.25)³ - 10 * (0.25) + 1 = 0.015625 - 2.5 + 1 = -1.484375

Так как f(0) > 0 и f(0.25) < 0, корень находится в интервале (0, 0.25).

Продолжаем делить интервал:

• c = (0 + 0.25) / 2 = 0.125
• f(0.125) = (0.125)³ - 10 * (0.125) + 1 = 0.001953125 - 1.25 + 1 = -0.248046875
• Корень в интервале (0, 0.125).

• c = (0 + 0.125) / 2 = 0.0625
• f(0.0625) = (0.0625)³ - 10 * (0.0625) + 1 = 0.000244140625 - 0.625 + 1 = 0.375244140625
• Корень в интервале (0.0625, 0.125).

Продолжаем делить интервал, пока длина интервала не станет меньше заданной точности e = 0.05:

• c = (0.0625 + 0.125) / 2 = 0.09375
• f(0.09375) = (0.09375)³ - 10 * (0.09375) + 1 = -0.1451875
• Корень в интервале (0.0625, 0.09375).

После нескольких итераций мы находим, что длина интервала становится меньше 0.05, и корень уравнения находится в пределах этого интервала.

Корень уравнения x³ - 10x + 1 = 0 на интервале (0, 1) методом бисекции с заданной точностью e = 0.05 приблизительно равен 0.1.