Методом бисекции с заданной точностью є найти корень уравнения на заданном интервале.x3 - 10x + 1 = 0, (0,1), =0.05

Другие предметы Колледж Метод бисекции метод бисекции вычислительные методы корень уравнения заданная точность интервал x3 - 10x + 1 = 0 Новый

Для нахождения корня уравнения x³ - 10x + 1 = 0 на интервале (0, 1) методом бисекции с заданной точностью є = 0.05, мы будем следовать следующему алгоритму:

1. Определение функции: Сначала определим функцию, для которой мы ищем корень:
• f(x) = x³ - 10x + 1
2. Проверка значений функции на границах интервала: Найдем значения функции в точках a = 0 и b = 1:
• f(0) = 0³ - 10*0 + 1 = 1
• f(1) = 1³ - 10*1 + 1 = -8

Так как f(0) > 0 и f(1) < 0, то по теореме Больцано в интервале (0, 1) существует хотя бы один корень.

3. Итерационный процесс: Теперь будем выполнять итерации метода бисекции. На каждой итерации будем находить середину интервала и проверять знак функции в этой точке:
• Сначала зададим a = 0 и b = 1.
• Находим c = (a + b) / 2.
• Вычисляем f(c).
• Если |f(c)| < є, то c является корнем.
• Если f(a) * f(c) < 0, то новый интервал будет (a, c), иначе (c, b).
• Повторяем шаги, пока длина интервала (b - a) не станет меньше є.
4. Пример итераций:
• 1-я итерация:
• a = 0, b = 1, c = (0 + 1) / 2 = 0.5
• f(0.5) = 0.5³ - 10*0.5 + 1 = -4.875
• Так как f(0) * f(0.5) < 0, новый интервал (0, 0.5).
• 2-я итерация:
• a = 0, b = 0.5, c = (0 + 0.5) / 2 = 0.25
• f(0.25) = 0.25³ - 10*0.25 + 1 = -2.84375
• Так как f(0) * f(0.25) < 0, новый интервал (0, 0.25).
• 3-я итерация:
• a = 0, b = 0.25, c = (0 + 0.25) / 2 = 0.125
• f(0.125) = 0.125³ - 10*0.125 + 1 = -1.578125
• Так как f(0) * f(0.125) < 0, новый интервал (0, 0.125).
• 4-я итерация:
• a = 0, b = 0.125, c = (0 + 0.125) / 2 = 0.0625
• f(0.0625) = 0.0625³ - 10*0.0625 + 1 = -0.87890625
• Так как f(0) * f(0.0625) < 0, новый интервал (0, 0.0625).
• 5-я итерация:
• a = 0, b = 0.0625, c = (0 + 0.0625) / 2 = 0.03125
• f(0.03125) = 0.03125³ - 10*0.03125 + 1 = -0.5869140625
• Так как f(0) * f(0.03125) < 0, новый интервал (0, 0.03125).
• 6-я итерация:
• a = 0, b = 0.03125, c = (0 + 0.03125) / 2 = 0.015625
• f(0.015625) = 0.015625³ - 10*0.015625 + 1 = -0.152587890625
• Так как f(0) * f(0.015625) < 0, новый интервал (0, 0.015625).
• 7-я итерация:
• a = 0, b = 0.015625, c = (0 + 0.015625) / 2 = 0.0078125
• f(0.0078125) = 0.0078125³ - 10*0.0078125 + 1 = 0.1328125
• Так как f(0.0078125) * f(0) < 0, новый интервал (0, 0.0078125).
• 8-я итерация:
• a = 0.0078125, b = 0.015625, c = (0.0078125 + 0.015625) / 2 = 0.01171875
• f(0.01171875) = 0.01171875³ - 10*0.01171875 + 1 = -0.0108642578125
• Так как f(0.0078125) * f(0.01171875) < 0, новый интервал (0.0078125, 0.01171875).
• 9-я итерация:
• a = 0.0078125, b = 0.01171875, c = (0.0078125 + 0.01171875) / 2 = 0.009765625
• f(0.009765625) = 0.009765625³ - 10*0.009765625 + 1 = 0.060302734375
• Так как f(0.009765625) * f(0.0078125) < 0, новый интервал (0.0078125, 0.009765625).
• 10-я итерация:
• a = 0.0078125, b = 0.009765625, c = (0.0078125 + 0.009765625) / 2 = 0.0087890625
• f(0.0087890625) = 0.0087890625³ - 10*0.0087890625 + 1 = 0.0244140625
• Так как f(0.0087890625) * f(0.0078125) < 0, новый интервал (0.0078125, 0.0087890625).
• 11-я итерация:
• a = 0.0078125, b = 0.0087890625, c = (0.0078125 + 0.0087890625) / 2 = 0.00830078125
• f(0.00830078125) = 0.00830078125³ - 10*0.00830078125 + 1 = 0.0078125
• Так как f(0.00830078125) * f(0.0078125) < 0, новый интервал (0.0078125, 0.00830078125).
• 12-я итерация:
• a = 0.0078125, b = 0.00830078125, c = (0.0078125 + 0.00830078125) / 2 = 0.008056640625
• f(0.008056640625) = 0.008056640625³ - 10*0.008056640625 + 1 = -0.00048828125
• Так как f(0.008056640625) * f(0.0078125) < 0, новый интервал (0.0078125, 0.008056640625).
• 13-я итерация:
• a = 0.0078125, b = 0.008056640625, c = (0.0078125 + 0.008056640625) / 2 = 0.0079345703125
• f(0.0079345703125) = 0.0079345703125³ - 10*0.0079345703125 + 1 = 0.0032958984375
• Так как f(0.0079345703125) * f(0.0078125) < 0, новый интервал (0.0078125, 0.0079345703125).
• 14-я итерация:
• a = 0.0078125, b = 0.0079345703125, c = (0.0078125 + 0.0079345703125) / 2 = 0.00787353515625
• f(0.00787353515625) = 0.00787353515625³ - 10*0.00787353515625 + 1 = 0.0019073486328125
• Так как f(0.00787353515625) * f(0.0078125) < 0, новый интервал (0.0078125, 0.00787353515625).
• 15-я итерация:
• a = 0.0078125, b = 0.00787353515625, c = (0.0078125 + 0.00787353515625) / 2 = 0.0078426361083984375
• f(0.0078426361083984375) = 0.0078426361083984375³ - 10*0.0078426361083984375 + 1 = 0.000762939453125
• Так как f(0.0078426361083984375) * f(0.0078125) < 0, новый интервал (0.0078125, 0.0078426361083984375).
• 16-я итерация:
• a = 0.0078125, b = 0.0078426361083984375, c = (0.0078125 + 0.0078426361083984375) / 2 = 0.0078277587890625
• f(0.0078277587890625) = 0.0078277587890625³ - 10*0.0078277587890625 + 1 = 0.000274658203125
• Так как f(0.0078277587890625) * f(0.0078125) < 0, новый интервал (0.0078125, 0.0078277587890625).
• 17-я итерация:
• a = 0.0078125, b = 0.0078277587890625, c = (0.0078125 + 0.0078277587890625) / 2 = 0.00782012939453125
• f(0.00782012939453125) = 0.00782012939453125³ - 10*0.00782012939453125 + 1 = -0.00012159347534179688
• Так как f(0.00782012939453125) * f(0.0078125) < 0, новый интервал (0.0078125, 0.00782012939453125).
• 18-я итерация:
• a = 0.0078125, b = 0.00782012939453125, c = (0.0078125 + 0.00782012939453125) / 2 = 0.007816314697265625
• f(0.007816314697265625) = 0.007816314697265625³ - 10*0.007816314697265625 + 1 = 0.0000762939453125
• Так как f(0.007816314697265625) * f(0.0078125) < 0, новый интервал (0.0078125, 0.007816314697265625).
• 19-я итерация:
• a = 0.0078125, b = 0.007816314697265625, c = (0.0078125 + 0.007816314697265625) / 2 = 0.0078144073486328125
• f(0.0078144073486328125) = 0.0078144073486328125³ - 10*0.0078144073486328125 + 1 = -0.00002288818359375
• Так как f(0.0078144073486328125) * f(0.0078125) < 0, новый интервал (0.0078125, 0.0078144073486328125).
• 20-я итерация:
• a = 0.0078125, b = 0.0078144073486328125, c = (0.0078125 + 0.0078144073486328125) / 2 = 0.00781345367431640625
• f(0.00781345367431640625) = 0.00781345367431640625³ - 10*0.00781345367431640625 + 1 = 0.000026702880859375
• Так как f(0.00781345367431640625) * f(0.0078125) < 0, новый интервал (0.0078125, 0.00781345367431640625).
• 21-я итерация:
• a = 0.0078125, b = 0.00781345367431640625, c = (0.0078125 + 0.00781345367431640625) / 2 = 0.00781297760009765625
• f(0.00781297760009765625) = 0.00781297760009765625³ - 10*0.00781297760009765625 + 1 = 0.00000286102294921875
• Так как f(0.00781297760009765625) * f(0.0078125) < 0, новый интервал (0.0078125, 0.00781297760009765625).
• 22-я итерация:
• a = 0.0078125, b = 0.00781297760009765625, c = (0.
  1 2 3 4 5