Похожие вопросы
2025-09-04 18:09:42
Найдите частное решение дифференциального уравнения y′ + 4y = 2, удовлетворяющее начальному условию y(0) = 6
- y = 11/2 ⋅ e⁻⁴ˣ + 1/2
- y = e⁻⁴ˣ + 1/2
- y = 11/2 ⋅ e⁴ˣ + 1/2
- y = −11/2 ⋅ e⁻⁴ˣ + 1/2
Другие предметы Колледж Дифференциальные уравнения Дифференциальное уравнение частное решение начальное условие высшая математика колледж решение уравнения математический анализ учебные задачи y′ + 4y = 2 y(0) = 6
2025-09-04 18:09:52
Для решения данного дифференциального уравнения y′ + 4y = 2, начнем с того, что это уравнение можно решить методом интегрирующего множителя.
Шаг 1: Найдем интегрирующий множитель.
Интегрирующий множитель μ(x) определяется как e^(∫P(x)dx), где P(x) - коэффициент при y в уравнении, в нашем случае P(x) = 4.
Таким образом, мы вычисляем:
- ∫4dx = 4x
- μ(x) = e^(4x)
Шаг 2: Умножим уравнение на интегрирующий множитель.
Умножим всё уравнение на e^(4x):
e^(4x) * y′ + 4e^(4x) * y = 2e^(4x).
Шаг 3: Преобразуем левую часть уравнения.
Левая часть уравнения теперь может быть представлена как производная от произведения:
(e^(4x) * y)′ = 2e^(4x).
Шаг 4: Интегрируем обе стороны уравнения.
Теперь интегрируем обе стороны:
- ∫(e^(4x) * y)′dx = ∫2e^(4x)dx.
Левая часть дает e^(4x) * y, а правая часть интегрируется как:
- ∫2e^(4x)dx = (1/2)e^(4x) + C, где C - произвольная константа.
Таким образом, у нас получается:
e^(4x) * y = (1/2)e^(4x) + C.
Шаг 5: Выразим y.
Теперь выразим y:
y = (1/2) + Ce^(-4x).
Шаг 6: Используем начальное условие.
Нам дано начальное условие y(0) = 6. Подставим x = 0 в полученное уравнение:
6 = (1/2) + Ce^(0) => 6 = (1/2) + C.
Отсюда находим C:
- C = 6 - (1/2) = 11/2.
Шаг 7: Подставим найденное значение C обратно в уравнение для y.
Теперь подставим C в уравнение:
y = (1/2) + (11/2)e^(-4x).
Ответ: Частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальному условию y(0) = 6, имеет вид:
y = (1/2) + (11/2)e^(-4x).