Найдите общее решение системы {9x₁ − 3x₂ + 5x₃ + 6x₄ = 4; 6x₁ − 2x₂ + 3x₃ + 4x₄ = 5; 3x₁ − x₂ + 3x₃ + 14x₄ = −8

1. {x₁ = c; x₂ = 11 + c; x₃ = −7; x₄ = 0
2. {x₁ = c; x₂ = 13 + c; x₃ = −7; x₄ = 1
3. {x₁ = 1 − c; x₂ = 13 + c; x₃ = −7; x₄ = 0
4. {x₁ = c; x₂ = 3c − 13; x₃ = −7; x₄ = 0

Другие предметы Колледж Системы линейных уравнений высшая математика система уравнений общее решение колледж линейная алгебра матричный метод математические задачи решение уравнений Новый

Чтобы найти общее решение данной системы уравнений, начнем с анализа самих уравнений. У нас есть три уравнения:

1. 9x₁ - 3x₂ + 5x₃ + 6x₄ = 4
2. 6x₁ - 2x₂ + 3x₃ + 4x₄ = 5
3. 3x₁ - x₂ + 3x₃ + 14x₄ = -8

Сначала мы можем записать систему в матричном виде и использовать метод Гаусса для упрощения. Однако для краткости мы будем использовать метод подстановки и исключения.

Сначала выразим x₂ через другие переменные из первого уравнения:

1. 3x₂ = 9x₁ + 5x₃ - 4
2. x₂ = 3x₁ + (5/3)x₃ - (4/3)

Теперь подставим x₂ в остальные уравнения. Начнем со второго уравнения:

1. 6x₁ - 2(3x₁ + (5/3)x₃ - (4/3)) + 3x₃ + 4x₄ = 5
2. 6x₁ - 6x₁ - (10/3)x₃ + (8/3) + 3x₃ + 4x₄ = 5
3. (-10/3 + 3)x₃ + 4x₄ + (8/3) = 5
4. (-1/3)x₃ + 4x₄ = 5 - (8/3)
5. (-1/3)x₃ + 4x₄ = (15/3 - 8/3) = 7/3
6. x₃ - 12x₄ = -7

Теперь подставим x₂ в третье уравнение:

1. 3x₁ - (3x₁ + (5/3)x₃ - (4/3)) + 3x₃ + 14x₄ = -8
2. 3x₁ - 3x₁ - (5/3)x₃ + (4/3) + 3x₃ + 14x₄ = -8
3. (-5/3 + 3)x₃ + 14x₄ + (4/3) = -8
4. (4/3)x₃ + 14x₄ = -8 - (4/3)
5. (4/3)x₃ + 14x₄ = (-24/3 - 4/3) = -28/3
6. x₃ + 42x₄ = -7

Теперь у нас есть две новых уравнения:

1. x₃ - 12x₄ = -7
2. x₃ + 42x₄ = -7

Теперь мы можем решить эту систему. Из первого уравнения выразим x₃:

1. x₃ = -7 + 12x₄

Подставим это значение во второе уравнение:

1. -7 + 12x₄ + 42x₄ = -7
2. 54x₄ = 0
3. x₄ = 0

Теперь подставим x₄ обратно в выражение для x₃:

1. x₃ = -7 + 12*0 = -7

Теперь подставим x₄ и x₃ в выражение для x₂:

1. x₂ = 3x₁ + (5/3)(-7) - (4/3)
2. x₂ = 3x₁ - (35/3) - (4/3) = 3x₁ - (39/3) = 3x₁ - 13

Таким образом, у нас есть:

1. x₁ = c (где c - произвольная константа)
2. x₂ = 3c - 13
3. x₃ = -7
4. x₄ = 0

Итак, общее решение системы уравнений:

x₁ = c, x₂ = 3c - 13, x₃ = -7, x₄ = 0

Это соответствует последнему варианту из предложенных. Таким образом, общее решение системы:

{x₁ = c; x₂ = 3c - 13; x₃ = -7; x₄ = 0}