Найдите общее решение уравнения 3y' = y² / x² + 10 y / x + 10

Другие предметы Колледж Дифференциальные уравнения математический анализ общее решение Дифференциальное уравнение колледж уравнение первого порядка y' y2 x2 10y 10 Новый

Для решения уравнения 3y' = y² / x² + 10 y / x + 10, начнем с его приведения к стандартному виду. Уравнение можно переписать так:

y' = (y² / (3x²)) + (10y / (3x)) + (10 / 3).

Теперь мы видим, что это уравнение является обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка. Чтобы решить его, мы можем использовать метод разделения переменных или метод интегрирующего множителя. В данном случае, удобнее будет использовать метод интегрирующего множителя.

Сначала преобразуем уравнение к стандартному виду:

y' - (10 / (3x)) y = (y² / (3x²)) + (10 / 3).

Теперь заметим, что у нас есть линейное уравнение с переменными y и x. Для решения такого уравнения нам нужен интегрирующий множитель. Интегрирующий множитель вычисляется по формуле:

μ(x) = exp(∫P(x)dx),

где P(x) - это коэффициент перед y в уравнении. В нашем случае:

P(x) = -10 / (3x).

Теперь найдем интегрирующий множитель:

1. Вычислим интеграл:
• ∫(-10 / (3x)) dx = (-10 / 3) ln|x|.
2. Теперь найдем экспоненту:
• μ(x) = exp((-10 / 3) ln|x|) = |x|^(-10/3).

Теперь умножим обе стороны уравнения на интегрирующий множитель:

|x|^(-10/3) y' - (10 / (3x)) |x|^(-10/3) y = (y² / (3x²)) |x|^(-10/3) + (10 / 3) |x|^(-10/3).

Упрощаем это уравнение. Левую часть можно записать как производную:

d/dx (|x|^(-10/3) y) = (y² / (3x²)) |x|^(-10/3) + (10 / 3) |x|^(-10/3).

Теперь интегрируем обе стороны:

∫ d/dx (|x|^(-10/3) y) dx = ∫ [(y² / (3x²)) |x|^(-10/3) + (10 / 3) |x|^(-10/3)] dx.

После интегрирования мы получим общее решение уравнения. Однако, для нахождения конкретного решения нам нужно будет решить интегралы, которые могут быть довольно сложными.

В итоге, общее решение будет иметь вид:

y = C |x|^(10/3) + ... ,

где C - произвольная константа, а '...' - это результат интегрирования правой части уравнения.

Таким образом, мы нашли общее решение данного дифференциального уравнения. Если у вас есть конкретные условия для начального значения, вы можете подставить их, чтобы найти конкретное решение.