Найдите общее решение уравнения (x+y)dx+xdy=0

Другие предметы Колледж Дифференциальные уравнения общее решение уравнения математические уравнения Дифференциальные уравнения колледж математика решение уравнений интегрирование математические задачи Новый

Для решения уравнения (x+y)dx + xdy = 0, начнем с его приведения к более удобному виду. Мы можем переписать его в следующем формате:

(x + y)dx + xdy = 0

Теперь мы можем разделить уравнение на dx, чтобы получить:

(x + y) + x(dy/dx) = 0

Теперь выразим dy/dx:

dy/dx = - (x + y)/x

Это уравнение является обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка. Мы можем использовать метод разделения переменных. Перепишем уравнение в виде:

dy/(x + y) = -dx/x

Теперь мы можем интегрировать обе части уравнения. Начнем с левой части:

1. Интеграл от dy/(x + y) равен ln|x + y| + C1.

Теперь интегрируем правую часть:

1. Интеграл от -dx/x равен -ln|x| + C2.

Таким образом, после интегрирования мы получаем:

ln|x + y| = -ln|x| + C

где C = C2 - C1 - произвольная константа. Теперь мы можем упростить это уравнение:

Возведем обе стороны в экспоненту:

|x + y| = e^C / |x|

Обозначим e^C как K (где K - положительная константа), и получаем:

|x + y| = K/|x|

Теперь мы можем записать общее решение в виде:

x + y = ±K/x

Или, что эквивалентно:

x + y = C/x

где C - произвольная константа. Это и есть общее решение данного уравнения.