Найдите общее решение уравнения (x + y)dx + xdy = 0

• 1) y = (C − x²) / 2x
• 2) y = (x² − C) / 2x
• 3) y = (C − x²) / x

Другие предметы Колледж Дифференциальные уравнения высшая математика общее решение уравнения колледж Дифференциальные уравнения математический анализ методы решения уравнений учебные материалы примеры задач подготовка к экзаменам Новый

Для решения данного дифференциального уравнения (x + y)dx + xdy = 0, начнем с его приведения к более удобному виду. Мы можем переписать его в форме:

(x + y)dx + xdy = 0

Теперь мы можем попытаться выразить dy через dx:

dy = -((x + y)/x)dx

Это уравнение можно рассматривать как уравнение в переменных x и y. Попробуем разделить переменные:

dy/(x + y) = -dx/x

Теперь интегрируем обе стороны:

1. Левую часть: для интегрирования dy/(x + y) используем замену переменной, например, z = x + y. Тогда dy = dz, и интеграл примет вид:
2. Правую часть: интеграл -dx/x равен -ln|x| + C.

После интегрирования мы получаем:

ln|x + y| = -ln|x| + C

Теперь преобразуем это уравнение:

ln|x + y| + ln|x| = C

Это можно переписать, используя свойства логарифмов:

ln|x(x + y)| = C

Теперь, возводя обе стороны в степень e, получаем:

|x(x + y)| = e^C

Обозначим e^C как новая константа K, тогда:

x(x + y) = K

Теперь выразим y через x:

y = K/x - x

Таким образом, мы получили общее решение уравнения. Теперь сравним его с предложенными вариантами:

• 1) y = (C − x²) / 2x
• 2) y = (x² − C) / 2x
• 3) y = (C − x²) / x

Решение y = K/x - x можно переписать в виде:

y = (C - x²)/x

Где C = K - x². Таким образом, правильный ответ - это третий вариант:

y = (C - x²) / x