Похожие вопросы
2025-04-09 20:15:46
Найдите общее решение уравнения (x + y)dx + xdy = 0
- 1) y = (C − x²) / 2x
- 2) y = (x² − C) / 2x
- 3) y = (C − x²) / x
Другие предметы Колледж Дифференциальные уравнения высшая математика общее решение уравнения колледж Дифференциальные уравнения математический анализ методы решения уравнений учебные материалы примеры задач подготовка к экзаменам
2025-04-09 20:16:06
Для решения данного дифференциального уравнения (x + y)dx + xdy = 0, начнем с его приведения к более удобному виду. Мы можем переписать его в форме:
(x + y)dx + xdy = 0
Теперь мы можем попытаться выразить dy через dx:
dy = -((x + y)/x)dx
Это уравнение можно рассматривать как уравнение в переменных x и y. Попробуем разделить переменные:
dy/(x + y) = -dx/x
Теперь интегрируем обе стороны:
- Левую часть: для интегрирования dy/(x + y) используем замену переменной, например, z = x + y. Тогда dy = dz, и интеграл примет вид:
- Правую часть: интеграл -dx/x равен -ln|x| + C.
После интегрирования мы получаем:
ln|x + y| = -ln|x| + C
Теперь преобразуем это уравнение:
ln|x + y| + ln|x| = C
Это можно переписать, используя свойства логарифмов:
ln|x(x + y)| = C
Теперь, возводя обе стороны в степень e, получаем:
|x(x + y)| = e^C
Обозначим e^C как новая константа K, тогда:
x(x + y) = K
Теперь выразим y через x:
y = K/x - x
Таким образом, мы получили общее решение уравнения. Теперь сравним его с предложенными вариантами:
- 1) y = (C − x²) / 2x
- 2) y = (x² − C) / 2x
- 3) y = (C − x²) / x
Решение y = K/x - x можно переписать в виде:
y = (C - x²)/x
Где C = K - x². Таким образом, правильный ответ - это третий вариант:
y = (C - x²) / x
