Найдите общее решение уравнения x² ⋅ d²y / dx² = 2

1. y = −2lnx + Cx + C₁
2. y = lnx + Cx + C₁
3. y = −lnx + Cx + C₁

Другие предметы Колледж Дифференциальные уравнения второго порядка высшая математика общее решение уравнение x2 d²y/dx² 2 y LN C C1 колледж математические уравнения Дифференциальные уравнения Новый

Давайте разберем данное уравнение и найдем его общее решение. У нас есть уравнение:

x² ⋅ d²y / dx² = 2

Это уравнение второго порядка с переменными коэффициентами. Мы можем начать с преобразования этого уравнения в более удобную форму.

1. Разделим обе стороны уравнения на x²:

d²y / dx² = 2 / x²

2. Теперь нам нужно проинтегрировать правую часть уравнения дважды, чтобы найти y. Начнем с первого интегрирования:

• Интегрируем 2/x²:

∫(2/x²) dx = -2/x + C₁

где C₁ - константа интегрирования. Теперь у нас есть первая производная:

dy/dx = -2/x + C₁

3. Теперь интегрируем снова:

• Интегрируем -2/x + C₁:

∫(-2/x + C₁) dx = -2ln|x| + C₁x + C₂

где C₂ - другая константа интегрирования. Теперь мы можем записать общее решение уравнения:

y = -2ln|x| + C₁x + C₂

4. Теперь обратим внимание на предложенные вами варианты решений:

• y = -2lnx + Cx + C₁
• y = lnx + Cx + C₁
• y = -lnx + Cx + C₁

Из полученного нами общего решения видно, что оно совпадает с первым вариантом (при условии, что C₁ и C₂ обозначают одну и ту же константу, а знак логарифма зависит от области определения функции). Таким образом, общее решение уравнения:

y = -2ln|x| + Cx + C₂

где C и C₂ - произвольные константы. Это и есть общее решение данного уравнения.