Найдите общее решение уравнения y'' - y = 0

Другие предметы Колледж Дифференциальные уравнения второго порядка математический анализ общее решение уравнение y'' - y = 0 колледж Дифференциальные уравнения решение уравнений Новый

Чтобы найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка y'' - y = 0, следуем следующим шагам:

1. Записываем характеристическое уравнение: Для уравнения y'' - y = 0 мы можем записать характеристическое уравнение, заменив y на e^(rt), где r - корень, который мы ищем. Таким образом, у нас получится:
• r^2 - 1 = 0
2. Находим корни характеристического уравнения: Решим уравнение r^2 - 1 = 0:
• r^2 = 1
• r = ±1
3. Записываем общее решение: Поскольку у нас два различных вещественных корня (r1 = 1 и r2 = -1), общее решение будет иметь вид:
• y(t) = C1 * e^(r1 * t) + C2 * e^(r2 * t),
• где C1 и C2 - произвольные константы.
4. Подставляем найденные корни: Теперь подставим наши корни в общее решение:
• y(t) = C1 * e^(1 * t) + C2 * e^(-1 * t)
• или
• y(t) = C1 * e^t + C2 * e^(-t).

Таким образом, общее решение уравнения y'' - y = 0 имеет вид:

y(t) = C1 * e^t + C2 * e^(-t),

где C1 и C2 - произвольные константы, которые определяются начальными условиями, если они заданы.