Похожие вопросы
2025-03-08 17:56:04
Найдите общее решение уравнения y'' - y = 0
- 1) y = Ceˣ − C₁e⁻ˣ
- 2) y = C₁eˣ + C₂eˣ
- 3) y = C₁eˣ + C₂e⁻ˣ
Другие предметы Колледж Дифференциальные уравнения второго порядка высшая математика общее решение уравнения колледж Дифференциальные уравнения математический анализ решение задачи математические методы изучение математики колледжская математика уравнения второго порядка
2025-03-08 17:56:20
Для решения данного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, начнем с уравнения:
y'' - y = 0
Это уравнение имеет характерный вид, и мы можем найти его характеристическое уравнение. Для этого предположим, что решение уравнения имеет вид:
y = e^(rx)
где r - это корень характеристического уравнения. Подставим это выражение в уравнение:
- Первый производная: y' = re^(rx)
- Второй производная: y'' = r²e^(rx)
Теперь подставим y, y' и y'' в уравнение:
r²e^(rx) - e^(rx) = 0
Мы можем вынести e^(rx) за скобки (так как оно не равно нулю):
(r² - 1)e^(rx) = 0
Теперь решим характеристическое уравнение:
r² - 1 = 0
Решая это уравнение, мы получаем:
- r² = 1
- r = ±1
Таким образом, у нас есть два различных корня: r₁ = 1 и r₂ = -1. Теперь мы можем записать общее решение данного уравнения:
y(x) = C₁e^(x) + C₂e^(-x)
где C₁ и C₂ - произвольные постоянные. Это решение соответствует третьему варианту из предложенных:
3) y = C₁e^(x) + C₂e^(-x)
Таким образом, общее решение уравнения y'' - y = 0 является:
y(x) = C₁e^(x) + C₂e^(-x)
