Найдите общее решение уравнения y'' - y = 0

• 1) y = Ceˣ − C₁e⁻ˣ
• 2) y = C₁eˣ + C₂eˣ
• 3) y = C₁eˣ + C₂e⁻ˣ

Другие предметы Колледж Дифференциальные уравнения второго порядка высшая математика общее решение уравнения колледж Дифференциальные уравнения математический анализ решение задачи математические методы изучение математики колледжская математика уравнения второго порядка Новый

Для решения данного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, начнем с уравнения:

y'' - y = 0

Это уравнение имеет характерный вид, и мы можем найти его характеристическое уравнение. Для этого предположим, что решение уравнения имеет вид:

y = e^(rx)

где r - это корень характеристического уравнения. Подставим это выражение в уравнение:

1. Первый производная: y' = re^(rx)
2. Второй производная: y'' = r²e^(rx)

Теперь подставим y, y' и y'' в уравнение:

r²e^(rx) - e^(rx) = 0

Мы можем вынести e^(rx) за скобки (так как оно не равно нулю):

(r² - 1)e^(rx) = 0

Теперь решим характеристическое уравнение:

r² - 1 = 0

Решая это уравнение, мы получаем:

1. r² = 1
2. r = ±1

Таким образом, у нас есть два различных корня: r₁ = 1 и r₂ = -1. Теперь мы можем записать общее решение данного уравнения:

y(x) = C₁e^(x) + C₂e^(-x)

где C₁ и C₂ - произвольные постоянные. Это решение соответствует третьему варианту из предложенных:

3) y = C₁e^(x) + C₂e^(-x)

Таким образом, общее решение уравнения y'' - y = 0 является:

y(x) = C₁e^(x) + C₂e^(-x)