Найдите общее решение уравнения y'' + 2y' = 5e³ˣ

Другие предметы Колледж Дифференциальные уравнения второго порядка математический анализ общее решение уравнение колледж y'' + 2y' = 5e³ˣ Дифференциальные уравнения методы решения Новый

Для решения дифференциального уравнения второго порядка y'' + 2y' = 5e^(3x) мы будем использовать метод решения неоднородных дифференциальных уравнений.

Шаг 1: Найдем общее решение однородного уравнения.

• Сначала мы рассматриваем однородное уравнение, которое получается, если правая часть равна нулю: y'' + 2y' = 0.
• Характеристическое уравнение для этого уравнения имеет вид: r² + 2r = 0.
• Решим его: r(r + 2) = 0. Это дает корни r1 = 0 и r2 = -2.
• Таким образом, общее решение однородного уравнения будет иметь вид: y_h = C1 + C2 * e^(-2x), где C1 и C2 - произвольные константы.

Шаг 2: Найдем частное решение неоднородного уравнения.

• Теперь нам нужно найти частное решение y_p для неоднородного уравнения y'' + 2y' = 5e^(3x).
• Поскольку правая часть имеет вид e^(3x), мы можем предположить, что частное решение имеет вид y_p = Ae^(3x), где A - некоторая константа.
• Теперь найдем производные: y_p' = 3Ae^(3x) и y_p'' = 9Ae^(3x).
• Подставим эти производные в уравнение: 9Ae^(3x) + 2(3Ae^(3x)) = 5e^(3x).
• Упростим это: 9A + 6A = 5, что дает 15A = 5, отсюда A = 1/3.
• Таким образом, частное решение будет: y_p = (1/3)e^(3x).

Шаг 3: Запишем общее решение.

• Теперь мы можем записать общее решение исходного уравнения, складывая общее решение однородного уравнения и частное решение: y = y_h + y_p.
• Итак, общее решение будет: y = C1 + C2 * e^(-2x) + (1/3)e^(3x).

Таким образом, общее решение уравнения y'' + 2y' = 5e^(3x) имеет вид:

y = C1 + C2 * e^(-2x) + (1/3)e^(3x), где C1 и C2 - произвольные константы.

1 2 3 4 5