Общим решением уравнения y''-2y'+y=e^x/x

• (C₁+xC₂)2e^x
• (xlnx+C₁+xC₂)e^x
• x+C₁
• (lnx+xC₁)e^3x

Другие предметы Колледж Дифференциальные уравнения второго порядка математический анализ колледж уравнение решение Дифференциальные уравнения математические методы учебные материалы студенты подготовка примеры решений Новый

Для решения данного дифференциального уравнения второго порядка y'' - 2y' + y = e^x / x, мы будем использовать метод вариации постоянных или метод нахождения частного решения для линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Шаги решения:

1. Найдем общее решение однородного уравнения: Начнем с решения соответствующего однородного уравнения y'' - 2y' + y = 0.
2. Характеристическое уравнение для этого дифференциального уравнения: r^2 - 2r + 1 = 0.
3. Решим характеристическое уравнение: (r - 1)^2 = 0, что дает корень r = 1 кратности 2.
4. Общее решение однородного уравнения: y_h = C1 * e^x + C2 * x * e^x, где C1 и C2 - произвольные постоянные.
5. Найдем частное решение для неоднородного уравнения: Используем метод вариации постоянных.
6. Ищем частное решение в виде y_p = u(x) * e^x + v(x) * x * e^x, где u(x) и v(x) - функции, которые нужно определить.
7. Подставляем y_p и его производные в уравнение y'' - 2y' + y = e^x / x и решаем систему уравнений для u'(x) и v'(x).
8. После подстановки и упрощения получаем систему уравнений для u'(x) и v'(x), которую решаем методом интегрирования.
9. Находим u(x) и v(x) и подставляем их в выражение для y_p.
10. Общее решение: Общее решение будет суммой общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения:
11. y(x) = y_h + y_p = (C1 * e^x + C2 * x * e^x) + y_p(x), где y_p(x) найдено на предыдущем шаге.

Таким образом, мы получаем полное решение данного дифференциального уравнения. Важно помнить, что точное выражение для частного решения y_p(x) может потребовать дополнительных вычислений и упрощений, которые зависят от конкретной формы правой части уравнения.