Найдите общее решение уравнения x⁴y'' = 5

1. y = 5 / (6x²) + C₁x + C₂
2. y = 5 / (6x²) + C₂
3. y = −5 / (3x²) + C₁x + C₂
4. y = 5x² / 6 + C₁x + C₂

Другие предметы Колледж Дифференциальные уравнения высшая математика общее решение уравнение x⁴y'' колледж математические задачи Дифференциальные уравнения метод решения математический анализ колледж высшая математика Новый

Для решения уравнения x⁴y'' = 5, начнем с того, что это уравнение является обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка. Мы можем переписать его в более удобной форме:

Шаг 1: Приведение к стандартному виду

Делим обе стороны уравнения на x⁴:

y'' = 5/x⁴

Шаг 2: Найдем общее решение однородного уравнения

Сначала найдем общее решение однородного уравнения, связанного с данным уравнением:

y'' = 0

Решение этого уравнения имеет вид:

y_h = C₁x + C₂,

где C₁ и C₂ - произвольные постоянные.

Шаг 3: Найдем частное решение неоднородного уравнения

Теперь найдем частное решение для уравнения y'' = 5/x⁴. Мы можем предположить, что частное решение имеет вид:

y_p = A/x²,

где A - постоянная, которую мы определим.

Теперь найдем производные:

• y_p' = -2A/x³,
• y_p'' = 6A/x⁴.

Подставим y_p'' в уравнение:

6A/x⁴ = 5/x⁴.

Сравниваем коэффициенты:

6A = 5,

откуда A = 5/6.

Таким образом, частное решение имеет вид:

y_p = (5/6)x².

Шаг 4: Запишем общее решение

Теперь, общее решение уравнения будет равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения:

y = y_h + y_p = C₁x + C₂ + 5/(6x²).

Шаг 5: Итоговое решение

Таким образом, общее решение уравнения x⁴y'' = 5 имеет вид:

y = C₁x + C₂ + 5/(6x²),

где C₁ и C₂ - произвольные постоянные.