Найдите общее решение уравнения y'' − 9y = e²ˣ
Другие предметы Колледж Дифференциальные уравнения второго порядка математический анализ колледж общее решение уравнение y'' − 9y e²ˣ Дифференциальные уравнения решение уравнения методы решения математические методы Новый
Для решения данного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, нужно выполнить следующие шаги:
Шаг 1: Найти общее решение однородного уравнения
Сначала мы решим однородное уравнение, которое получается, если приравнять правую часть к нулю:
y'' - 9y = 0
Характеристическое уравнение будет выглядеть так:
r² - 9 = 0
Решим его:
Таким образом, у нас два корня: r1 = 3 и r2 = -3. Общее решение однородного уравнения будет иметь вид:
y_h = C1 * e^(3x) + C2 * e^(-3x)
где C1 и C2 - произвольные постоянные.
Шаг 2: Найти частное решение неоднородного уравнения
Теперь мы найдем частное решение для неоднородного уравнения:
y'' - 9y = e^(2x)
Для нахождения частного решения можно использовать метод подбора. Поскольку правая часть имеет вид e^(2x), мы предположим, что частное решение имеет вид:
y_p = A * e^(2x)
где A - это постоянная, которую мы определим.
Теперь найдем производные:
Подставим y_p, y_p' и y_p'' в исходное уравнение:
4A * e^(2x) - 9(A * e^(2x)) = e^(2x)
Упростим это выражение:
(4A - 9A) * e^(2x) = e^(2x)
-5A * e^(2x) = e^(2x)
Теперь приравняем коэффициенты:
-5A = 1
A = -1/5
Таким образом, частное решение будет:
y_p = -1/5 * e^(2x)
Шаг 3: Записать общее решение
Теперь мы можем записать общее решение исходного неоднородного уравнения, которое является суммой общего решения однородного уравнения и частного решения:
y = y_h + y_p
y = C1 * e^(3x) + C2 * e^(-3x) - 1/5 * e^(2x)
Таким образом, общее решение уравнения y'' - 9y = e^(2x) имеет вид:
y = C1 * e^(3x) + C2 * e^(-3x) - 1/5 * e^(2x)