Найдите общее решение уравнения y'' − 9y = e²ˣ

Другие предметы Колледж Дифференциальные уравнения второго порядка математический анализ колледж общее решение уравнение y'' − 9y e²ˣ Дифференциальные уравнения решение уравнения методы решения математические методы Новый

Для решения данного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, нужно выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Найти общее решение однородного уравнения

Сначала мы решим однородное уравнение, которое получается, если приравнять правую часть к нулю:

y'' - 9y = 0

Характеристическое уравнение будет выглядеть так:

r² - 9 = 0

Решим его:

• r² = 9
• r = ±3

Таким образом, у нас два корня: r1 = 3 и r2 = -3. Общее решение однородного уравнения будет иметь вид:

y_h = C1 * e^(3x) + C2 * e^(-3x)

где C1 и C2 - произвольные постоянные.

Шаг 2: Найти частное решение неоднородного уравнения

Теперь мы найдем частное решение для неоднородного уравнения:

y'' - 9y = e^(2x)

Для нахождения частного решения можно использовать метод подбора. Поскольку правая часть имеет вид e^(2x), мы предположим, что частное решение имеет вид:

y_p = A * e^(2x)

где A - это постоянная, которую мы определим.

Теперь найдем производные:

• y_p' = 2A * e^(2x)
• y_p'' = 4A * e^(2x)

Подставим y_p, y_p' и y_p'' в исходное уравнение:

4A * e^(2x) - 9(A * e^(2x)) = e^(2x)

Упростим это выражение:

(4A - 9A) * e^(2x) = e^(2x)

-5A * e^(2x) = e^(2x)

Теперь приравняем коэффициенты:

-5A = 1

A = -1/5

Таким образом, частное решение будет:

y_p = -1/5 * e^(2x)

Шаг 3: Записать общее решение

Теперь мы можем записать общее решение исходного неоднородного уравнения, которое является суммой общего решения однородного уравнения и частного решения:

y = y_h + y_p

y = C1 * e^(3x) + C2 * e^(-3x) - 1/5 * e^(2x)

Таким образом, общее решение уравнения y'' - 9y = e^(2x) имеет вид:

y = C1 * e^(3x) + C2 * e^(-3x) - 1/5 * e^(2x)