Похожие вопросы
2025-09-04 17:56:14
Найдите общее решение уравнения y'' – 9y = e²ˣ
- y = C₁e³ˣ + C₂e⁻³ˣ − 1/5 ⋅ e²ˣ
- y = C₁e³ˣ + C₂ − 1/2 ⋅ e²ˣ
- y = e³ˣ(C₁ + C₂x) − 1/2 ⋅ e²ˣ
- y = C₁e³ˣ + C₂e⁻³ˣ − e²ˣ
Другие предметы Колледж Дифференциальные уравнения высшая математика уравнение общее решение колледж Дифференциальные уравнения математический анализ методы решения C1 C2 e²ˣ e³ˣ линейные уравнения особенности решений математика для колледжа
2025-09-04 17:56:35
Для решения данного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью, равной e^(2x), мы будем использовать метод вариации постоянных. Давайте разберем шаги решения подробно.
Шаг 1: Найдем общее решение однородного уравненияСначала решим однородное уравнение:
y'' - 9y = 0
Характеристическое уравнение имеет вид:
r² - 9 = 0
Решим его:
- r² = 9
- r = ±3
Таким образом, общее решение однородного уравнения будет:
y_h = C₁e^(3x) + C₂e^(-3x),
где C₁ и C₂ - произвольные постоянные.
Шаг 2: Найдем частное решениеТеперь найдем частное решение y_p для неоднородного уравнения y'' - 9y = e^(2x).
Поскольку правая часть e^(2x) не является решением однородного уравнения, мы можем предположить, что частное решение имеет вид:
y_p = Ae^(2x),
где A - константа, которую нужно определить.
Шаг 3: Подставим y_p в уравнениеНайдём производные y_p:
- y_p' = 2Ae^(2x),
- y_p'' = 4Ae^(2x).
Теперь подставим y_p и его производные в уравнение:
4Ae^(2x) - 9(Ae^(2x)) = e^(2x).
Упростим это уравнение:
(4A - 9A)e^(2x) = e^(2x)
или
-5Ae^(2x) = e^(2x).
Теперь сравним коэффициенты:
-5A = 1,
откуда A = -1/5.
Шаг 4: Полное решениеТеперь мы можем записать полное решение уравнения:
y = y_h + y_p = C₁e^(3x) + C₂e^(-3x) - 1/5e^(2x).
Шаг 5: ПроверкаПри необходимости, можно проверить, подставив полученное решение обратно в исходное уравнение, чтобы убедиться, что оно удовлетворяет уравнению.
Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения:
y = C₁e^(3x) + C₂e^(-3x) - 1/5e^(2x).