Похожие вопросы
2025-04-05 15:56:51
Найдите общее решение уравнения y' - y / x = x
Другие предметы Колледж Дифференциальные уравнения математический анализ уравнение общее решение y' y x колледж Дифференциальные уравнения методы решения задачи по математическому анализу
2025-04-05 15:57:03
Для решения дифференциального уравнения первого порядка y' - y / x = x мы можем использовать метод вариации постоянных. Давайте разберем решение шаг за шагом.
Шаг 1: Приведение уравнения к стандартному видуУравнение имеет вид:
y' - (1/x)y = x
Это уравнение имеет стандартный вид линейного уравнения первого порядка.
Шаг 2: Нахождение интегрирующего множителяИнтегрирующий множитель μ(x) можно найти по формуле:
μ(x) = e^(∫P(x)dx), где P(x) = -1/x.
Теперь вычислим интеграл:
∫(-1/x)dx = -ln|x|.
Следовательно, интегрирующий множитель:
μ(x) = e^(-ln|x|) = 1/|x|.
Мы можем опустить знак модуля, так как x > 0 или x < 0.
Шаг 3: Умножение уравнения на интегрирующий множительУмножим все части уравнения на 1/x:
(1/x)y' - (1/x^2)y = 1.
Теперь левая часть уравнения является производной произведения:
(d/dx)(y/x) = 1.
Шаг 4: Интегрирование обеих сторонТеперь интегрируем обе стороны уравнения:
∫(d/dx)(y/x)dx = ∫1dx.
Получаем:
y/x = x + C, где C - постоянная интегрирования.
Шаг 5: Решение для yТеперь выразим y:
y = x(x + C) = x^2 + Cx.
Общее решениеТаким образом, общее решение данного дифференциального уравнения:
y = x^2 + Cx, где C - произвольная константа.
