Найдите общее решение уравнения y' - y / x = x

Другие предметы Колледж Дифференциальные уравнения математический анализ уравнение общее решение y' y x колледж Дифференциальные уравнения методы решения задачи по математическому анализу Новый

Для решения дифференциального уравнения первого порядка y' - y / x = x мы можем использовать метод вариации постоянных. Давайте разберем решение шаг за шагом.

Шаг 1: Приведение уравнения к стандартному виду

Уравнение имеет вид:

y' - (1/x)y = x

Это уравнение имеет стандартный вид линейного уравнения первого порядка.

Шаг 2: Нахождение интегрирующего множителя

Интегрирующий множитель μ(x) можно найти по формуле:

μ(x) = e^(∫P(x)dx), где P(x) = -1/x.

Теперь вычислим интеграл:

∫(-1/x)dx = -ln|x|.

Следовательно, интегрирующий множитель:

μ(x) = e^(-ln|x|) = 1/|x|.

Мы можем опустить знак модуля, так как x > 0 или x < 0.

Шаг 3: Умножение уравнения на интегрирующий множитель

Умножим все части уравнения на 1/x:

(1/x)y' - (1/x^2)y = 1.

Теперь левая часть уравнения является производной произведения:

(d/dx)(y/x) = 1.

Шаг 4: Интегрирование обеих сторон

Теперь интегрируем обе стороны уравнения:

∫(d/dx)(y/x)dx = ∫1dx.

Получаем:

y/x = x + C, где C - постоянная интегрирования.

Шаг 5: Решение для y

Теперь выразим y:

y = x(x + C) = x^2 + Cx.

Общее решение

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения:

y = x^2 + Cx, где C - произвольная константа.