Похожие вопросы
2025-09-04 17:54:49
Найдите общее решение уравнения y' – y / x = x
- y = x² + Cx
- y = x² − Cx
- y = 2x² + Cx
Другие предметы Колледж Дифференциальные уравнения высшая математика колледж общее решение уравнение Дифференциальные уравнения y' y x математические методы студенческие задачи
2025-09-04 17:55:00
Для решения данного уравнения начнем с анализа его структуры. У нас есть дифференциальное уравнение первого порядка:
y' - (y/x) = x
Это уравнение можно привести к стандартному виду линейного уравнения. Мы видим, что это уравнение имеет вид:
y' + P(x)y = Q(x)
где P(x) = -1/x и Q(x) = x.
Теперь найдем интегрирующий множитель. Интегрирующий множитель μ(x) можно найти по формуле:
μ(x) = e^(∫P(x)dx)
В нашем случае:
- ∫P(x)dx = ∫(-1/x)dx = -ln|x| = ln|1/x|
- Таким образом, μ(x) = e^(ln|1/x|) = 1/x.
Теперь умножим обе стороны уравнения на интегрирующий множитель:
(1/x)(y' - y/x) = (1/x)(x)
Это упростится до:
(y/x)' = 1
Теперь интегрируем обе стороны:
∫(y/x)'dx = ∫1dx
Получаем:
y/x = x + C
где C - произвольная константа. Умножим обе стороны на x:
y = x² + Cx
Теперь мы можем записать общее решение данного уравнения:
y = x² + Cx
Таким образом, мы нашли общее решение уравнения. Если подставить различные значения C, мы получим конкретные решения, которые будут зависеть от начальных условий.