Чтобы найти предел lim (1 – 5 / x)ˣ при x → ∞, давайте рассмотрим выражение (1 – 5 / x)ˣ более подробно.

Шаг 1: Изучение предела внутри скобок

• Когда x стремится к бесконечности, член 5/x стремится к 0.
• Следовательно, 1 - 5/x стремится к 1.

Шаг 2: Применение свойства пределов

• Теперь мы имеем дело с выражением вида (1 - 5/x)ˣ. Это выражение может быть преобразовано с использованием свойства, что lim (1 + a/n)ⁿ = e^a, когда n стремится к бесконечности.
• В нашем случае a = -5, и n = x, поэтому мы можем переписать предел как:
• lim (1 - 5/x)ˣ = lim (1 + (-5/x))ˣ.

Шаг 3: Применение логарифмической функции

• Чтобы упростить вычисления, мы можем взять натуральный логарифм:
• ln(y) = x * ln(1 - 5/x).
• Теперь найдем предел ln(y) при x → ∞.

Шаг 4: Использование разложения в ряд Тейлора

• Мы знаем, что для малых значений z, ln(1 + z) ≈ z. Таким образом:
• ln(1 - 5/x) ≈ -5/x (при x → ∞).

Шаг 5: Подстановка в предел

• Теперь подставим это в предел:
• ln(y) = x * (-5/x) = -5.
• Следовательно, lim ln(y) = -5.

Шаг 6: Возвращение к y

• Теперь, чтобы найти предел y, мы должны возвести в степень e:
• lim y = e^(-5).

Итак, окончательный ответ:

lim (1 – 5 / x)ˣ при x → ∞ равен e^(-5).

Теперь, что касается выражения e^-5e^5e^2e^3, давайте упростим его:

• e^-5 * e^5 = e^0 = 1.
• Таким образом, e^-5e^5e^2e^3 = e^2 * e^3 = e^(2+3) = e^5.

Итак, ответ на задачу: Предел lim (1 – 5 / x)ˣ при x → ∞ равен e^(-5), а выражение e^-5e^5e^2e^3 равно e^5.