Найдите предел lim (√(1 + 6x) - 5) / (√x - 2), x⟶∞

• 1) √6
• 2) 12/5
• 3) 2
• 4) 3/20

Другие предметы Колледж Пределы функций предел высшая математика колледж лимит задачи на пределы решение пределов математический анализ границы функций пределы при x к бесконечности Новый

Для нахождения предела lim (√(1 + 6x) - 5) / (√x - 2) при x стремящемся к бесконечности, начнем с анализа выражения.

1. Рассмотрим числитель: √(1 + 6x) - 5. При больших значениях x, √(1 + 6x) можно упростить. Мы можем выделить 6x из под корня:

• √(1 + 6x) = √(6x(1 + 1/(6x))) = √6 * √x * √(1 + 1/(6x)).

При x стремящемся к бесконечности, √(1 + 1/(6x)) стремится к √1 = 1. Таким образом:

• √(1 + 6x) ≈ √6 * √x.

Следовательно, числитель можно записать как:

• √(1 + 6x) - 5 ≈ √6 * √x - 5.

2. Теперь рассмотрим знаменатель: √x - 2. При x стремящемся к бесконечности, √x также стремится к бесконечности, и можно записать:

• √x - 2 ≈ √x.

3. Теперь подставим полученные приближения в предел:

• lim (√(1 + 6x) - 5) / (√x - 2) = lim (√6 * √x - 5) / (√x).

4. Разделим числитель и знаменатель на √x:

• lim (√6 - 5/√x) / 1.

5. При x стремящемся к бесконечности, 5/√x стремится к 0. Таким образом, предел становится:

• lim (√6 - 0) = √6.

6. Теперь, если необходимо, можем округлить √6. Приблизительное значение √6 ≈ 2.45.

Итак, окончательный ответ:

√6