Найдите предел lim (1 - 7 / x)ˣ, x -> ∞

Другие предметы Колледж Пределы функций предел математический анализ колледж лимит функция x стремится к бесконечности Новый

Чтобы найти предел lim (1 - 7 / x)ˣ при x → ∞, давайте рассмотрим выражение внутри предела.

Когда x стремится к бесконечности, дробь 7 / x стремится к 0. Таким образом, мы можем переписать выражение:

• 1 - 7 / x → 1 (при x → ∞)

Теперь подставим это в предел:

lim (1 - 7 / x)ˣ = lim (1 - 0)ˣ = lim 1ˣ.

Однако, 1 в любой степени равняется 1, поэтому:

lim (1 - 7 / x)ˣ = 1.

Но давайте рассмотрим более детально, как это выражение ведет себя при больших значениях x. Мы можем воспользоваться логарифмической формой для более точного анализа:

Обозначим y = (1 - 7 / x)ˣ. Тогда мы можем взять натуральный логарифм:

ln(y) = x * ln(1 - 7 / x).

Теперь нам нужно найти предел:

lim x * ln(1 - 7 / x) при x → ∞.

Используем разложение ln(1 - u) при u → 0:

• ln(1 - u) ≈ -u (для u малых).

В нашем случае u = 7 / x, и при x → ∞, u стремится к 0:

ln(1 - 7 / x) ≈ -7 / x.

Теперь подставим это в предел:

lim x * ln(1 - 7 / x) ≈ lim x * (-7 / x) = lim -7 = -7.

Таким образом, мы нашли, что:

ln(y) → -7 при x → ∞.

Теперь, чтобы найти y, мы возводим e в степень:

y = e^(-7).

Следовательно, предел:

lim (1 - 7 / x)ˣ при x → ∞ равен e^(-7).

Таким образом, окончательный ответ:

lim (1 - 7 / x)ˣ = e^(-7).