Найдите предел lim (√(1 - x) - √(1 + x))² / x², x -> 0

Другие предметы Колледж Пределы функций предел математический анализ колледж лимит корень дробь x стремится к нулю вычисление предела Новый

Чтобы найти предел lim (√(1 - x) - √(1 + x))² / x² при x стремящемся к 0, давайте рассмотрим этот предел шаг за шагом.

Шаг 1: Подстановка предела

Сначала подставим x = 0 в выражение:

(√(1 - 0) - √(1 + 0))² / 0² = (1 - 1)² / 0 = 0/0.

Это неопределенность, поэтому мы можем использовать другие методы для нахождения предела, например, метод разложения в ряд Тейлора или рационализацию.

Шаг 2: Рационализация

Попробуем рационализировать числитель:

Умножим и поделим на (√(1 - x) + √(1 + x)):

(√(1 - x) - √(1 + x)) * (√(1 - x) + √(1 + x)) / (√(1 - x) + √(1 + x)).

Теперь числитель примет вид:

(1 - x) - (1 + x) = -2x.

Таким образом, мы можем переписать предел:

lim (√(1 - x) - √(1 + x))² / x² = lim [(-2x) / (√(1 - x) + √(1 + x))]² / x².

Шаг 3: Упрощение выражения

Теперь упростим это выражение:

lim [(-2x)² / (x² * (√(1 - x) + √(1 + x))²)].

Это равняется:

lim [4x² / (x² * (√(1 - x) + √(1 + x))²)].

Сократим x² в числителе и знаменателе:

lim 4 / (√(1 - x) + √(1 + x))².

Шаг 4: Подстановка x = 0

Теперь подставим x = 0:

lim 4 / (√(1 - 0) + √(1 + 0))² = 4 / (1 + 1)² = 4 / 4 = 1.

Ответ

Таким образом, предел lim (√(1 - x) - √(1 + x))² / x² при x стремящемся к 0 равен 1.