Найдите предел lim tg5x / x, x⟶0

• 1) 1
• 2) −1
• 3) 5
• 4) ∞

Другие предметы Колледж Пределы функций предел высшая математика колледж lim tg5x / x математический анализ предел функции x стремится к нулю тригонометрические функции Новый

Для нахождения предела lim (tg(5x) / x) при x → 0, мы можем воспользоваться свойствами пределов и некоторыми известными формулами.

Шаги решения:

1. Сначала вспомним, что при x → 0, тангенс можно выразить через синус и косинус: tg(5x) = sin(5x) / cos(5x).
2. Следовательно, мы можем переписать предел как:
• lim (tg(5x) / x) = lim (sin(5x) / (x * cos(5x))).
3. Теперь, чтобы упростить этот предел, мы можем использовать известный предел: lim (sin(u) / u) = 1, когда u → 0. В нашем случае u = 5x, и когда x → 0, u также стремится к 0.
4. Мы можем переписать x в терминах u: x = u / 5, что приводит к:
• lim (sin(5x) / (x * cos(5x))) = lim (sin(u) / ((u/5) * cos(5u/5))) = lim (5 * sin(u) / (u * cos(u))).
5. Теперь мы можем разделить предел на две части:
• 5 * lim (sin(u) / u) * lim (1 / cos(u)).
6. Как мы уже упоминали, lim (sin(u) / u) = 1, и lim (1 / cos(u)) = 1, когда u → 0.
7. Таким образом, мы получаем:
• 5 * 1 * 1 = 5.

Итак, предел lim (tg(5x) / x) при x → 0 равен 5.

Ответ: 5.