Найдите предел lim (√(x + 4) – 3) / (x² – 25), при x ⟶ 5

1. 1/60
2. 3/25
3. ∞
4. 1/6

Другие предметы Колледж Пределы функций предел высшая математика колледж лимит вычисление предела математический анализ функции x стремится к 5 дробь корень алгебра анализ функций Новый

Чтобы найти предел lim (√(x + 4) – 3) / (x² – 25) при x → 5, мы будем следовать нескольким шагам.

1. Подставим значение x = 5:
• В числителе: √(5 + 4) – 3 = √9 – 3 = 3 – 3 = 0.
• В знаменателе: 5² – 25 = 25 – 25 = 0.
2. Поскольку мы получили неопределенность вида 0/0, мы можем применить алгебраические преобразования.
3. Упростим выражение:
• Числитель: √(x + 4) – 3 можно упростить, умножив и разделив на сопряженное выражение (√(x + 4) + 3):
• (√(x + 4) – 3)(√(x + 4) + 3) = (x + 4) – 9 = x – 5.
4. Теперь перепишем предел:
• lim (√(x + 4) – 3) / (x² – 25) = lim [(x – 5) / (x² – 25)(√(x + 4) + 3)].
• Знаменатель x² – 25 можно разложить на множители: x² – 25 = (x – 5)(x + 5).
5. Теперь предел выглядит так:
• lim [(x – 5) / ((x – 5)(x + 5)(√(x + 4) + 3))].
• Мы можем сократить (x – 5) в числителе и знаменателе:
6. После сокращения предел будет:
• lim 1 / [(x + 5)(√(x + 4) + 3)] при x → 5.
7. Подставим x = 5 в упрощенное выражение:
• 1 / [(5 + 5)(√(5 + 4) + 3)] = 1 / [10(3 + 3)] = 1 / [10 * 6] = 1 / 60.

Ответ: Предел lim (√(x + 4) – 3) / (x² – 25) при x → 5 равен 1/60.