Найдите предел lim (√(x + 5) – 2) / (√(x + 10) – 3), при x ⟶ -1

1. 1,5
2. −1,5
3. 2/3
4. 1/2

Другие предметы Колледж Пределы функций предел высшая математика колледж лимит вычисление предела корень алгебра математический анализ задачи по математике Новый

Для нахождения предела lim (√(x + 5) – 2) / (√(x + 10) – 3) при x → -1, начнем с подстановки значения x = -1 в выражение.

Подставим x = -1:

• √(-1 + 5) – 2 = √4 – 2 = 2 – 2 = 0
• √(-1 + 10) – 3 = √9 – 3 = 3 – 3 = 0

Таким образом, при подстановке мы получаем неопределенность вида 0/0. Чтобы решить эту неопределенность, мы можем воспользоваться методом рационализации.

Для этого умножим числитель и знаменатель на сопряженные выражения:

• Сопряженное выражение для числителя: √(x + 5) + 2
• Сопряженное выражение для знаменателя: √(x + 10) + 3

Теперь перепишем предел:

lim (√(x + 5) – 2) / (√(x + 10) – 3) = lim [(√(x + 5) – 2)(√(x + 5) + 2)] / [(√(x + 10) – 3)(√(x + 10) + 3)]

Теперь упрощаем числитель и знаменатель:

• Числитель: (√(x + 5))^2 - 2^2 = (x + 5) - 4 = x + 1
• Знаменатель: (√(x + 10))^2 - 3^2 = (x + 10) - 9 = x + 1

Таким образом, мы можем переписать предел как:

lim (x + 1) / (x + 1)

Теперь, при условии, что x ≠ -1, мы можем сократить (x + 1) в числителе и знаменателе:

lim 1 = 1

Таким образом, предел:

Ответ: 1