Найдите предел lim (x / (x + 1))ˣ, x -> ∞

Другие предметы Колледж Пределы функций предел математический анализ колледж лимит функция бесконечность x анализ функций Новый

Для нахождения предела lim (x / (x + 1))ˣ при x → ∞, давайте рассмотрим выражение (x / (x + 1))ˣ более подробно.

1. Сначала упростим дробь x / (x + 1):

• Мы можем разделить числитель и знаменатель на x:
• x / (x + 1) = x / x(1 + 1/x) = 1 / (1 + 1/x).

2. Теперь рассмотрим предел 1 / (1 + 1/x) при x → ∞:

• Когда x стремится к бесконечности, 1/x стремится к 0.
• Таким образом, 1 / (1 + 1/x) стремится к 1 / (1 + 0) = 1.

Теперь мы можем переписать исходное выражение:

lim (x / (x + 1))ˣ = lim (1 / (1 + 1/x))ˣ.

3. Теперь нам нужно рассмотреть предел lim (1 / (1 + 1/x))ˣ:

• Мы знаем, что (1 - 1/n)ˣ стремится к 0, когда n → ∞ и x = n.
• В нашем случае, поскольку 1 / (1 + 1/x) стремится к 1, мы можем использовать свойство предела:
• lim (1 / (1 + 1/x))ˣ = lim (1 - 1/(1 + 1/x))ˣ.

4. Применим логарифм для упрощения выражения:

Обозначим y = (1 / (1 + 1/x))ˣ. Тогда ln(y) = x * ln(1 / (1 + 1/x)).

5. Теперь найдем предел ln(y):

• ln(1 / (1 + 1/x)) = -ln(1 + 1/x).
• При x → ∞, 1/x → 0, и ln(1 + 1/x) → ln(1) = 0.
• Используя разложение ln(1 + u) ≈ u при u → 0, получаем: ln(1 + 1/x) ≈ 1/x.
• Таким образом, ln(1 / (1 + 1/x)) ≈ -1/x.

6. Теперь подставим это в выражение для ln(y):

ln(y) = x * (-1/x) = -1.

7. Таким образом, y = e^(-1) = 1/e.

8. В итоге, предел lim (x / (x + 1))ˣ при x → ∞ равен:

1/e.