Найдите угол между векторами a=2m+4n и b=m-n, где m и n –единичные векторы и угол между m и n равен 120°

• 90
• 180
• 100
• 120

Другие предметы Колледж Скалярное произведение векторов векторы угол между векторами высшая математика колледж единичные векторы угол 120 градусов алгебра векторов расчет угла векторное произведение математические задачи Новый

Чтобы найти угол между двумя векторами a и b, мы можем использовать формулу для косинуса угла между векторами:

cos(θ) = (a · b) / (|a| * |b|)

где θ — угол между векторами, a · b — скалярное произведение векторов, |a| и |b| — длины векторов a и b соответственно.

Давайте начнем с вычисления векторов a и b:

• a = 2m + 4n
• b = m - n

Теперь найдем скалярное произведение a и b:

a · b = (2m + 4n) · (m - n)

Раскроем скобки:

a · b = 2m · m - 2m · n + 4n · m - 4n · n

Так как m и n — единичные векторы, то:

• m · m = 1
• n · n = 1
• m · n = |m| * |n| * cos(120°) = 1 * 1 * (-1/2) = -1/2

Теперь подставим эти значения в выражение для скалярного произведения:

a · b = 2 * 1 - 2 * (-1/2) + 4 * (-1/2) - 4 * 1

Упростим это:

a · b = 2 + 1 - 2 - 4 = -3

Теперь найдем длины векторов a и b:

|a| = √((2m + 4n) · (2m + 4n)) = √(4m · m + 16n · n + 16m · n) = √(4 + 16 + 16 * (-1/2)) = √(4 + 16 - 8) = √12 = 2√3

|b| = √((m - n) · (m - n)) = √(m · m - 2m · n + n · n) = √(1 - 2 * (-1/2) + 1) = √(1 + 1 + 1) = √3

Теперь подставим все значения в формулу для косинуса угла:

cos(θ) = (a · b) / (|a| * |b|) = -3 / (2√3 * √3) = -3 / (2 * 3) = -1/2

Теперь найдем угол θ:

θ = cos^(-1)(-1/2)

Угол, для которого косинус равен -1/2, равен 120°. Таким образом, угол между векторами a и b равен:

120°