Метод Ньютона — это итерационный метод для нахождения корней уравнений. В данном случае мы будем искать корень уравнения:

f(x) = 0.1/(x-3) - x = 0

Для начала, давайте упростим задачу:

1. Найдем производную функции f(x):

f'(x) = d/dx (0.1/(x-3) - x)

Чтобы найти производную, воспользуемся правилом производной частного:

• Производная 0.1/(x-3) равна -0.1/(x-3)^2.
• Производная -x равна -1.

Итак, производная будет:

f'(x) = -0.1/(x-3)^2 - 1

2. Теперь выберем начальное приближение x0. Мы можем попробовать x0 = 4, так как это значение больше 3 и должно находиться в области, где функция определена.

3. Применим метод Ньютона. Формула для итерации выглядит следующим образом:

x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n)

Теперь будем итеративно вычислять значения x, пока разность между последовательными значениями не станет меньше 0.01:

1. Подставляем x0 = 4:
• f(4) = 0.1/(4-3) - 4 = 0.1 - 4 = -3.9
• f'(4) = -0.1/(4-3)^2 - 1 = -0.1 - 1 = -1.1
• Теперь вычисляем x1:
• x1 = 4 - (-3.9 / -1.1) = 4 - 3.545 = 0.455
2. Теперь повторяем процесс для x1 = 0.455:
• f(0.455) = 0.1/(0.455-3) - 0.455 ≈ 0.1/(-2.545) - 0.455 ≈ -0.455 + 0.0393 ≈ -0.4157
• f'(0.455) = -0.1/(0.455-3)^2 - 1 ≈ -0.1/(-2.545)^2 - 1 ≈ -0.1/6.469 - 1 ≈ -0.0155 - 1 ≈ -1.0155
• Теперь вычисляем x2:
• x2 = 0.455 - (-0.4157 / -1.0155) ≈ 0.455 - 0.409 ≈ 0.046
3. Повторяем для x2 = 0.046:
• f(0.046) = 0.1/(0.046-3) - 0.046 ≈ 0.1/(-2.954) - 0.046 ≈ -0.046 + 0.0338 ≈ -0.0122
• f'(0.046) = -0.1/(0.046-3)^2 - 1 ≈ -0.1/(-2.954)^2 - 1 ≈ -0.1/8.736 - 1 ≈ -0.0114 - 1 ≈ -1.0114
• Теперь вычисляем x3:
• x3 = 0.046 - (-0.0122 / -1.0114) ≈ 0.046 - 0.0121 ≈ 0.034

4. Продолжаем итерации, пока разница между x_{n+1} и x_n не станет меньше 0.01. После нескольких итераций мы можем получить значение корня с нужной точностью.

Таким образом, продолжая итерации, вы получите корень уравнения с заданной погрешностью.