Метод Ньютона — это итеративный метод для нахождения корней уравнений. Давайте подробно рассмотрим, как применить этот метод для уравнения f(x) = x³ - x + 7, чтобы найти корень с погрешностью не более 0.01.

Шаг 1: Определение функции и её производной

• Функция: f(x) = x³ - x + 7
• Производная функции: f'(x) = 3x² - 1

Шаг 2: Выбор начального приближения

Для начала нужно выбрать начальное приближение. Мы можем взять одно из значений, указанных в вопросе, например, x₀ = -2.09.

Шаг 3: Применение метода Ньютона

Формула метода Ньютона выглядит следующим образом:

x₁ = x₀ - f(x₀) / f'(x₀)

Теперь будем вычислять итерации, пока разность между последовательными приближениями не станет меньше 0.01.

Итерация 1:

• Вычисляем f(x₀): f(-2.09) = (-2.09)³ - (-2.09) + 7 = -9.128209 - (-2.09) + 7 = -9.128209 + 2.09 + 7 = -0.038209
• Вычисляем f'(-2.09): f'(-2.09) = 3 * (-2.09)² - 1 = 3 * 4.3681 - 1 = 13.1043 - 1 = 12.1043
• Теперь подставляем в формулу: x₁ = -2.09 - (-0.038209 / 12.1043) ≈ -2.09 + 0.00315 ≈ -2.08685

Итерация 2:

• Вычисляем f(x₁): f(-2.08685) ≈ (-2.08685)³ - (-2.08685) + 7 ≈ -0.000154
• Вычисляем f'(-2.08685): f'(-2.08685) ≈ 12.0997
• Теперь подставляем в формулу: x₂ = -2.08685 - (-0.000154 / 12.0997) ≈ -2.08685 + 0.0000127 ≈ -2.0868373

Итерация 3:

• Вычисляем f(x₂): f(-2.0868373) ≈ -0.00000001
• Вычисляем f'(-2.0868373) ≈ 12.0996
• Теперь подставляем в формулу: x₃ = -2.0868373 - (-0.00000001 / 12.0996) ≈ -2.0868373 + 0

На этом этапе разница между x₂ и x₃ меньше 0.01, что означает, что мы достигли необходимой точности.

Ответ: Корень уравнения f(x) = 0 методом Ньютона с погрешностью не более 0.01 равен приблизительно -2.0868.