Найти неопределенный интеграл ∫ cos⁷ x sin²xdx

• 1/3 sin³x - 3/5 sin⁵x +3/7sin⁷x - 1/9 sin⁹x + C
• cos⁸x/8 sin³x/3 + C
• sin⁷x cos²x + C
• sin³x/3 - sin⁷x/7 + C

Другие предметы Колледж Неопределенные интегралы неопределенный интеграл интегралы математика колледж cos sin интеграл интегрирование тригонометрических функций Новый

Для нахождения неопределенного интеграла ∫ cos(7x) sin(2x) dx, мы можем использовать метод интегрирования по частям или тригонометрические идентичности. В данном случае удобнее всего воспользоваться формулой произведения тригонометрических функций.

Шаг 1: Используем тригонометрические идентичности.

Сначала вспомним, что cos(A)sin(B) можно выразить через суммы:

cos(A)sin(B) = 1/2 [sin(A + B) - sin(A - B).

В нашем случае A = 7x, B = 2x. Подставляем:

cos(7x)sin(2x) = 1/2 [sin(9x) - sin(5x)].

Шаг 2: Записываем интеграл.

Теперь интеграл можно записать как:

∫ cos(7x) sin(2x) dx = 1/2 ∫ [sin(9x) - sin(5x)] dx.

Шаг 3: Интегрируем каждую часть.

• ∫ sin(9x) dx = -1/9 cos(9x) + C1,
• ∫ sin(5x) dx = -1/5 cos(5x) + C2.

Подставляем обратно в наш интеграл:

∫ cos(7x) sin(2x) dx = 1/2 [-1/9 cos(9x) + 1/5 cos(5x)] + C.

Шаг 4: Упрощаем результат.

Теперь упрощаем выражение:

= -1/18 cos(9x) + 1/10 cos(5x) + C.

Таким образом, окончательный ответ на интеграл:

∫ cos(7x) sin(2x) dx = -1/18 cos(9x) + 1/10 cos(5x) + C.

Если у вас есть дополнительные вопросы по интегрированию или другим темам, не стесняйтесь спрашивать!