Похожие вопросы
2025-07-19 14:18:01
Найти предел lim (1 − cos5x) / x², x⟶0
- 0
- ∞
- 1
- 2.5
- 12.5
Другие предметы Колледж Пределы функций предел высшая математика колледж lim cos x2 x→0 задачи по математике математический анализ тригонометрические функции
2025-07-19 14:18:21
Чтобы найти предел lim (1 − cos(5x)) / x² при x → 0, мы можем воспользоваться разложением косинуса в ряд Тейлора.
Рассмотрим разложение функции косинуса:
- cos(x) = 1 - x²/2 + x⁴/24 - ...
Теперь, подставим 5x вместо x:
- cos(5x) = 1 - (5x)²/2 + (5x)⁴/24 - ...
Это упрощается до:
- cos(5x) = 1 - (25x²)/2 + O(x⁴),
где O(x⁴) обозначает члены порядка x⁴ и выше, которые становятся незначительными при x → 0.
Теперь подставим это выражение в наш предел:
- 1 - cos(5x) = 1 - (1 - (25x²)/2 + O(x⁴)) = (25x²)/2 - O(x⁴).
Теперь мы можем выразить наш предел:
- lim (1 - cos(5x)) / x² = lim ((25x²)/2 - O(x⁴)) / x².
Это можно упростить:
- lim ((25/2) - O(x²)) = 25/2,
так как O(x²) стремится к 0 при x → 0.
Таким образом, предел равен:
25/2.