Похожие вопросы
2025-07-19 17:18:45
Найти предел: lim (1 − tgx) / cos2x, x⟶π/4
- 0
- -1
- 1
- ∞
- 5
Другие предметы Колледж Пределы функций предел высшая математика колледж лимит tgx cos2x x→π/4
2025-07-19 17:19:04
Для нахождения предела lim (1 - tgx) / cos2x при x стремящемся к π/4, давайте рассмотрим каждую часть выражения по отдельности.
1. Сначала определим значение функции tgx при x = π/4:
- tg(π/4) = sin(π/4) / cos(π/4) = 1 / 1 = 1.
Таким образом, при x = π/4, числитель 1 - tgx становится:
- 1 - tg(π/4) = 1 - 1 = 0.
2. Теперь рассмотрим знаменатель cos2x при x = π/4:
- cos(2 * π/4) = cos(π/2) = 0.
Таким образом, мы имеем неопределенность вида 0/0. Чтобы решить эту неопределенность, можем воспользоваться правилом Лопиталя, которое говорит, что если мы имеем предел вида 0/0 или ∞/∞, то мы можем взять производные числителя и знаменателя.
3. Найдем производные числителя и знаменателя:
- Числитель: d/dx (1 - tgx) = -sec^2(x).
- Знаменатель: d/dx (cos(2x)) = -2sin(2x).
4. Теперь применим правило Лопиталя:
lim (1 - tgx) / cos2x = lim (-sec^2(x)) / (-2sin(2x)) = lim (sec^2(x)) / (2sin(2x)).
5. Теперь подставим x = π/4 в полученное выражение:
- sec^2(π/4) = 1 / cos^2(π/4) = 1 / (1/√2)^2 = 2.
- sin(2 * π/4) = sin(π/2) = 1.
6. Подставим эти значения в предел:
lim (sec^2(x)) / (2sin(2x)) = 2 / (2 * 1) = 2 / 2 = 1.
Таким образом, предел lim (1 - tgx) / cos2x при x стремящемся к π/4 равен 1.
Ответ: 1
