Чтобы найти предел lim (sin(2x) / arcsin(3x) при x → 0, мы можем воспользоваться некоторыми свойствами пределов и известными разложениями функций.

Шаг 1: Подстановка предела

Сначала подставим x = 0 в выражение:

• sin(2*0) = sin(0) = 0
• arcsin(3*0) = arcsin(0) = 0

Мы получаем неопределенность вида 0/0, поэтому нам нужно использовать другие методы для вычисления предела.

Шаг 2: Использование разложений Тейлора

Мы можем использовать разложения Тейлора для функций sin и arcsin вблизи нуля:

• sin(u) ≈ u, когда u → 0
• arcsin(v) ≈ v, когда v → 0

В нашем случае:

• u = 2x, тогда sin(2x) ≈ 2x
• v = 3x, тогда arcsin(3x) ≈ 3x

Шаг 3: Подставляем разложения в предел

Теперь подставим эти приближения в предел:

lim (sin(2x) / arcsin(3x)) = lim (2x / 3x) при x → 0.

Шаг 4: Упрощение выражения

Упрощаем дробь:

lim (2x / 3x) = lim (2 / 3) = 2/3.

Шаг 5: Записываем ответ

Таким образом, предел lim (sin(2x) / arcsin(3x) при x → 0 равен 2/3.

Ответ: 2/3