Похожие вопросы
2025-07-19 14:49:46
Найти предел lim sin²x / x², x⟶0
- 0
- ∞
- 1
- 2
- 10
Другие предметы Колледж Пределы функций предел лимит sin2x x2 высшая математика колледж математический анализ теория пределов задачи по математике
2025-07-19 14:50:04
Чтобы найти предел lim (sin²x / x²) при x стремящемся к бесконечности, давайте разберем этот предел по шагам.
- Записываем предел:
Мы ищем: lim (sin²x / x²) при x → ∞.
- Анализируем числитель и знаменатель:
В числителе у нас sin²x, а в знаменателе x².
Значение функции sin²x колеблется от 0 до 1 для всех x, так как синус принимает значения от -1 до 1.
- Оценка предела:
Поскольку sin²x всегда находится в пределах от 0 до 1, мы можем записать:
- 0 ≤ sin²x ≤ 1.
Это означает, что:
- 0 ≤ sin²x / x² ≤ 1 / x².
- Находим предел правой части:
Теперь рассмотрим предел 1 / x² при x → ∞:
lim (1 / x²) = 0.
- Применяем теорему о пределе:
По теореме о пределе, если мы имеем, что 0 ≤ f(x) ≤ g(x) и lim g(x) = 0, то:
lim f(x) = 0.
В нашем случае f(x) = sin²x / x² и g(x) = 1 / x².
- Заключение:
Таким образом, мы можем утверждать, что:
lim (sin²x / x²) = 0 при x → ∞.
Итак, окончательный ответ: lim (sin²x / x²) при x → ∞ равен 0.