Похожие вопросы
2025-07-19 16:56:53
Найти предел lim x / arctgx, x⟶0
- 0
- ∞
- 3
- 1
- 2
Другие предметы Колледж Пределы функций предел высшая математика колледж lim x arctgx x стремится к нулю математический анализ предел функции непрерывность функции вычисление пределов
2025-07-19 16:57:13
Чтобы найти предел lim x / arctg(x) при x стремящемся к 0, мы можем использовать некоторые свойства пределов и разложение в ряд Тейлора. Давайте разберем это шаг за шагом.
- Определим функцию: Нам нужно найти предел функции f(x) = x / arctg(x).
- Подставим значение x: Когда x стремится к 0, arctg(x) также стремится к 0. Таким образом, мы имеем неопределенность вида 0/0.
- Используем разложение в ряд Тейлора: Для малых значений x можно использовать разложение arctg(x) в ряд Тейлора:
- arctg(x) ≈ x - x^3/3 + O(x^5) при x → 0.
- Подставим это разложение в предел:
- Тогда f(x) можно переписать как:
- f(x) = x / (x - x^3/3 + O(x^5)).
- Упростим дробь:
- f(x) = x / x(1 - x^2/3 + O(x^4)).
- f(x) = 1 / (1 - x^2/3 + O(x^4)).
- Теперь найдем предел: Когда x стремится к 0, O(x^4) также стремится к 0, и мы получаем:
- lim (1 / (1 - x^2/3)) = 1 / 1 = 1.
- Записываем ответ: Таким образом, предел lim x / arctg(x) при x стремящемся к 0 равен 1.
Ответ: lim x / arctg(x) = 1 при x → 0.
