Давайте найдем предел выражения lim (x² - 9) / (√(x + 1) - 2) при x, стремящемся к бесконечности.

Первым шагом будет упрощение выражения. Мы можем заметить, что при x → ∞, и числитель, и знаменатель стремятся к бесконечности. Это значит, что мы можем применить некоторые алгебраические преобразования.

1. Рассмотрим числитель: x² - 9. При x → ∞, этот член будет доминировать, и его можно оставить как есть.

2. Теперь обратим внимание на знаменатель: √(x + 1) - 2. При x → ∞, √(x + 1) будет стремиться к √x, что в свою очередь стремится к бесконечности. Таким образом, мы можем упростить знаменатель:

• √(x + 1) ≈ √x, когда x очень большое.
• Тогда √(x + 1) - 2 ≈ √x - 2.

Теперь мы можем переписать предел:

lim (x² - 9) / (√(x + 1) - 2) = lim (x² - 9) / (√x - 2) при x → ∞.

3. Чтобы упростить дальнейшие вычисления, давайте умножим числитель и знаменатель на (√x + 2), чтобы избавиться от корня в знаменателе:

lim [(x² - 9)(√x + 2)] / [(√x - 2)(√x + 2)].

Теперь знаменатель можно упростить:

• (√x - 2)(√x + 2) = x - 4.

4. Теперь подставим это в предел:

lim [(x² - 9)(√x + 2)] / (x - 4).

5. Далее, мы можем разложить (x² - 9) как (x - 3)(x + 3) и подставить это в предел:

lim [(x - 3)(x + 3)(√x + 2)] / (x - 4).

6. Теперь, при x → ∞, мы можем игнорировать меньшие степени, и предел будет выглядеть так:

lim [(x)(x)(√x)] / (x) = lim [x²√x].

7. При x → ∞, x²√x стремится к бесконечности.

Таким образом, предел lim (x² - 9) / (√(x + 1) - 2) при x → ∞ равен бесконечности: