Чтобы найти неопределенный интеграл ∫ x(1 − 2x)³ dx, давайте сначала упростим выражение, используя метод подстановки.

Шаг 1: Подстановка

Обозначим u = 1 - 2x. Тогда производная u по x будет:

du/dx = -2, отсюда dx = du / -2.

Теперь, выразим x через u:

x = (1 - u) / 2.

Шаг 2: Замена переменных в интеграле

Теперь подставим u и dx в наш интеграл:

• Когда x = (1 - u) / 2, то 1 - 2x = u.
• Следовательно, x = (1 - u) / 2.
• dx = du / -2.

Теперь подставляем все это в интеграл:

∫ x(1 − 2x)³ dx = ∫ ((1 - u) / 2) * u³ * (du / -2).

Это можно переписать как:

= -1/4 ∫ (1 - u)u³ du.

Шаг 3: Раскрытие скобок

Теперь раскроем скобки:

-1/4 ∫ (u³ - u⁴) du = -1/4 (∫ u³ du - ∫ u⁴ du).

Шаг 4: Интегрирование

Теперь найдем интегралы:

• ∫ u³ du = (u⁴)/4 + C₁.
• ∫ u⁴ du = (u⁵)/5 + C₂.

Подставляем это обратно:

-1/4 ((u⁴)/4 - (u⁵)/5) + C.

Шаг 5: Объединение и подстановка обратно

Теперь подставим обратно значение u:

u = 1 - 2x, и у нас получится:

-1/4 (((1 - 2x)⁴)/4 - ((1 - 2x)⁵)/5) + C.

Шаг 6: Упрощение

Мы можем упростить это выражение, но давайте сразу подставим значение u и упростим его:

После упрощения мы получим:

-2x³ + 3x⁴ - 8x⁵/5 + C.

Итак, окончательный ответ на неопределенный интеграл ∫ x(1 − 2x)³ dx равен:

-2x³ + 3x⁴ - 8x⁵/5 + C.