Общее решение дифференциального уравнения y'' – 6y' + 9y = 0 имеет вид …

• y = e⁻³ˣ (C₁ + C₂x)
• y = C₁e⁻³ˣ + C₂x
• y = C₁e⁻³ˣ

Другие предметы Колледж Дифференциальные уравнения второго порядка Дифференциальное уравнение общее решение математика колледж y'' – 6y' + 9y = 0 метод решения математический анализ решение уравнения функции экспоненциальная функция линейные уравнения Новый

Давайте разберем данное дифференциальное уравнение и найдем его общее решение. У нас есть уравнение:

y'' - 6y' + 9y = 0

Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Чтобы решить его, мы начнем с нахождения характеристического уравнения. Для этого мы предположим, что решение имеет вид:

y = e^(rt)

где r - это корень характеристического уравнения. Подставим это предположение в дифференциальное уравнение:

1. Находим производные:

• y' = re^(rt)
• y'' = r²e^(rt)

2. Подставляем y, y' и y'' в уравнение:

r²e^(rt) - 6re^(rt) + 9e^(rt) = 0

3. Вынесем e^(rt) за скобки (так как e^(rt) не равно нулю):

r² - 6r + 9 = 0

4. Теперь решаем характеристическое уравнение. Это квадратное уравнение, и мы можем использовать дискриминант:

D = b² - 4ac = (-6)² - 4 * 1 * 9 = 36 - 36 = 0

Так как дискриминант равен нулю, у нас есть один двойной корень:

r = 6 / 2 = 3

5. Поскольку у нас двойной корень, общее решение будет иметь вид:

y = C₁e^(rt) + C₂te^(rt)

Подставив значение r = 3, мы получаем:

y = C₁e^(3x) + C₂xe^(3x)

Однако в вашем вопросе указано, что общее решение имеет вид:

y = e^(-3x)(C₁ + C₂x)

Это можно переписать в аналогичной форме:

y = C₁e^(-3x) + C₂xe^(-3x)

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения:

y = C₁e^(-3x) + C₂xe^(-3x)

где C₁ и C₂ - произвольные константы.