Для решения дифференциального уравнения y' = y, давайте сначала разберемся с его формой и методом решения.

Шаг 1: Определение уравнения

Мы имеем уравнение:

y' = y

Это простое линейное однородное дифференциальное уравнение первого порядка.

Шаг 2: Применение метода разделения переменных

Мы можем применить метод разделения переменных, чтобы решить это уравнение. Для этого разделим обе части уравнения:

• dy/y = dx

Шаг 3: Интегрирование

Теперь интегрируем обе стороны:

• ∫(1/y) dy = ∫ dx

После интегрирования получаем:

• ln|y| = x + C

Шаг 4: Возвращение к экспоненциальной форме

Для того чтобы избавиться от логарифма, возводим обе стороны в степень e:

• |y| = e^(x + C)

Мы можем выразить это как:

• |y| = e^C * e^x

Шаг 5: Обозначение постоянной

Обозначим e^C как новую постоянную, скажем K:

• y = K * e^x

Так как K может быть положительным или отрицательным, мы можем убрать модуль:

• y = Ce^x

где C - произвольная постоянная.

Шаг 6: Ответ

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения:

• y = Ce^x

Теперь, если рассматривать предложенные вами варианты:

• y = x + C
• y = Ce^x
• y = sin(x) + C

Правильный ответ - это y = Ce^x, так как именно он является общим решением данного уравнения. Остальные варианты не являются решениями данного уравнения.