Общее решение уравнения y''-5 y'+6y=0 имеет вид …

Другие предметы Колледж Дифференциальные уравнения второго порядка уравнение общее решение математика колледж Дифференциальные уравнения y''-5y'+6y=0 Новый

Для нахождения общего решения однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка, такого как y'' - 5y' + 6y = 0, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Записать характеристическое уравнение:

   Для данного уравнения характеристическое уравнение имеет вид:

   r² - 5r + 6 = 0

2. Решить характеристическое уравнение:

   Мы можем решить это квадратное уравнение с помощью формулы корней:

   r = (b ± √(b² - 4ac)) / 2a,

   где a = 1, b = -5, c = 6.

   Подставляя значения, получаем:

   r = (5 ± √((-5)² - 4 * 1 * 6)) / (2 * 1)

   r = (5 ± √(25 - 24)) / 2

   r = (5 ± √1) / 2

   r = (5 ± 1) / 2.

   Таким образом, мы получаем два корня:

   • r1 = (5 + 1) / 2 = 3
   • r2 = (5 - 1) / 2 = 2
3. Записать общее решение:

   Общее решение однородного уравнения имеет вид:

   y(t) = C1 * e^(r1 * t) + C2 * e^(r2 * t),

   где C1 и C2 - произвольные константы.

   Подставляя найденные корни, получаем:

   y(t) = C1 * e^(3t) + C2 * e^(2t).

Таким образом, общее решение уравнения y'' - 5y' + 6y = 0 имеет вид:

y(t) = C1 * e^(3t) + C2 * e^(2t).