Похожие вопросы
2025-09-15 19:45:35
Общее решение уравнения y''+5y'-6y=0 имеет вид …
- y=c₁e⁶ˣ+c₂e³ˣ
- y=c₁e⁻⁶ˣ+c₂eˣ
- y=c₁e⁻²ˣ+c₂e⁻³ˣ
Другие предметы Колледж Дифференциальные уравнения второго порядка общее решение уравнения математика колледж Дифференциальные уравнения y''+5y'-6y=0 решение уравнений линейные уравнения математический анализ
2025-09-15 19:45:49
Чтобы найти общее решение однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка, такого как y'' + 5y' - 6y = 0, нам нужно сначала найти характеристическое уравнение. Это делается следующим образом:
- Записываем характеристическое уравнение, подставляя y = e^(rx):
- Получаем: r² + 5r - 6 = 0.
Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого используем формулу корней квадратного уравнения:
r = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
В нашем случае a = 1, b = 5, c = -6. Подставим эти значения:
- b² - 4ac = 5² - 4 * 1 * (-6) = 25 + 24 = 49.
- Теперь подставим в формулу: r = (-5 ± √49) / 2 = (-5 ± 7) / 2.
Теперь найдем два корня:
- Первый корень: r₁ = (-5 + 7) / 2 = 2 / 2 = 1.
- Второй корень: r₂ = (-5 - 7) / 2 = -12 / 2 = -6.
Теперь, когда мы нашли корни, можем записать общее решение уравнения:
y = c₁e^(r₁x) + c₂e^(r₂x)
Подставляем найденные значения r₁ и r₂:
y = c₁e^(1x) + c₂e^(-6x)
Таким образом, общее решение уравнения y'' + 5y' - 6y = 0 имеет вид:
y = c₁e^x + c₂e^(-6x)
Из предложенных вариантов ответа, правильный будет:
y = c₁e^x + c₂e^(-6x)