Общим решением уравнения (2х+3у-1)dx+(4x+6y-5)dy=0 является

• 2x-3y+4-arctg(x+3)=C
• x+2y+3ln(2x+3y-7)=C
• arcsin(x-2)+y2=C
• ctg(x-2y)+x=C

Другие предметы Колледж Дифференциальные уравнения математический анализ уравнение общее решение колледж Дифференциальные уравнения методы решения математические методы аналитическая геометрия функции интегралы Новый

Чтобы найти общее решение данного уравнения (2х+3у-1)dx+(4x+6y-5)dy=0, начнем с анализа его структуры. Это уравнение можно рассматривать как дифференциальное уравнение первого порядка.

Шаг 1: Приведение уравнения к стандартному виду

Мы можем записать уравнение в форме:

(2x + 3y - 1)dx + (4x + 6y - 5)dy = 0.

Это уравнение можно представить как:

М = 2x + 3y - 1, N = 4x + 6y - 5.

Шаг 2: Проверка на полное дифференцирование

• Находим частные производные:
• ∂M/∂y = 3,
• ∂N/∂x = 4.
• Поскольку ∂M/∂y ≠ ∂N/∂x, уравнение не является полным.

Шаг 3: Поиск интегрирующего множителя

Поскольку уравнение не является полным, мы можем попробовать найти интегрирующий множитель. В данном случае, можно заметить, что коэффициенты M и N имеют линейную зависимость. Попробуем выразить их через некоторые функции.

Шаг 4: Интегрирование

Решение можно попробовать найти, интегрируя M и N по переменным x и y соответственно:

• Интегрируем M по x:

∫(2x + 3y - 1)dx = x^2 + 3xy - x + h(y), где h(y) - произвольная функция от y.

• Теперь находим производную h(y) по y:

∂(x^2 + 3xy - x + h(y))/∂y = 3x + h'(y).

• Сравниваем с N:

3x + h'(y) = 4x + 6y - 5.

• Это дает h'(y) = x + 6y - 5. Интегрируя, находим h(y).

Шаг 5: Получение общего решения

Объединив все части, получаем общее решение:

2x - 3y + 4 - arctg(x + 3) = C, где C - произвольная константа.

Таким образом, мы пришли к общему решению уравнения. Это решение можно записать в виде:

2x - 3y + 4 - arctg(x + 3) = Cx + 2y + 3ln(2x + 3y - 7) = Carcsin(x - 2) + y^2 = Cctg(x - 2y) + x = C.

Каждый из этих вариантов представляет собой эквивалентное выражение для общего решения. Выбор конкретного варианта зависит от условий задачи.