Определение скалярного произведения векторов, его связь с ортогональной проекцией вектора. Свойства скалярного произведения. Вывод формулы вычисления скалярного произведения в ортонормированном базисе.

Другие предметы Колледж Скалярное произведение векторов скалярное произведение векторы ортогональная проекция свойства формула вычисления ортонормированный базис линейная алгебра аналитическая геометрия колледж Новый

Определение скалярного произведения векторов

Скалярное произведение (или внутреннее произведение) двух векторов в евклидовой пространстве – это операция, которая принимает два вектора и возвращает число (скаляр). В двумерном пространстве, если у нас есть векторы A и B, заданные как:

• A = (a1, a2)
• B = (b1, b2)

то скалярное произведение A и B обозначается как A · B и вычисляется по формуле:

A · B = a1 * b1 + a2 * b2

Связь с ортогональной проекцией вектора

Ортогональная проекция вектора A на вектор B – это вектор, который показывает, как много вектора A "направлено" в сторону вектора B. Проекция A на B обозначается как proj_B(A) и вычисляется по формуле:

proj_B(A) = (A · B / B · B) * B

Здесь A · B – это скалярное произведение, а B · B – это длина вектора B в квадрате. Таким образом, скалярное произведение показывает, насколько "сильно" вектор A направлен в сторону вектора B.

Свойства скалярного произведения

Скалярное произведение обладает несколькими важными свойствами:

1. Коммутативность: A · B = B · A
2. Ассоциативность относительно скалярного произведения: c(A · B) = (cA) · B = A · (cB), где c – скаляр.
3. Дистрибутивность: A · (B + C) = A · B + A · C
4. Неотрицательность: A · A ≥ 0, и A · A = 0 только тогда, когда A = 0.

Вывод формулы вычисления скалярного произведения в ортонормированном базисе

В ортонормированном базисе, где все векторы базиса имеют длину 1 и перпендикулярны друг другу, скалярное произведение двух векторов A и B можно выразить через их координаты в этом базисе. Пусть векторы A и B имеют координаты:

• A = (x1, y1, z1)
• B = (x2, y2, z2)

Тогда их скалярное произведение будет вычисляться по той же формуле:

A · B = x1 * x2 + y1 * y2 + z1 * z2

Поскольку векторы базиса ортонормированы, мы можем быть уверены, что длины и углы между векторами учитываются корректно, и это позволяет нам просто складывать произведения соответствующих координат.

Таким образом, в ортонормированном базисе скалярное произведение сводится к простой операции над координатами векторов.