Давайте разберем, как найти частные производные функции z(x, y) = 3x³ + 7xy - 5x + 3y⁴ по x и y, а затем расположим их в нужной последовательности.

Чтобы найти частную производную функции z по x, мы будем дифференцировать z по x, рассматривая y как константу.

• Первый член: 3x³ → производная будет 9x².
• Второй член: 7xy → производная будет 7y (поскольку y - константа).
• Третий член: -5x → производная будет -5.
• Четвертый член: 3y⁴ → производная будет 0 (поскольку это не зависит от x).

Теперь складываем все производные:

∂z/∂x = 9x² + 7y - 5.

Теперь найдем вторую частную производную z по x. Мы будем дифференцировать ∂z/∂x снова по x.

• Первый член: 9x² → производная будет 18x.
• Второй член: 7y → производная будет 0 (поскольку это не зависит от x).
• Третий член: -5 → производная будет 0.

Таким образом, вторая частная производная:

∂²z/∂x² = 18x.

Теперь найдем частную производную функции z по y, рассматривая x как константу.

• Первый член: 3x³ → производная будет 0 (поскольку это не зависит от y).
• Второй член: 7xy → производная будет 7x.
• Третий член: -5x → производная будет 0 (поскольку это не зависит от y).
• Четвертый член: 3y⁴ → производная будет 12y³.

Теперь складываем все производные:

∂z/∂y = 7x + 12y³.

• Частная производная по x первого порядка: 9x² + 7y - 5
• Частная производная по x второго порядка: 18x
• Частная производная по y первого порядка: 7x + 12y³

Таким образом, мы получили все необходимые частные производные и расположили их в правильном порядке.