Для решения задачи Коши, которая представляет собой линейное дифференциальное уравнение второго порядка, мы начнем с анализа самого уравнения:

Уравнение имеет вид:

• y - 2y' + 5y = 0

Это однородное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Для его решения мы используем характеристическое уравнение.

1. Предположим, что решение имеет вид y = e^(rx), где r - неизвестная константа. Подставим это выражение в дифференциальное уравнение.
2. Найдем производные: y' = re^(rx), y'' = r^2e^(rx).
3. Подставим в уравнение: e^(rx) - 2re^(rx) + 5e^(rx) = 0.
4. Упростим: e^(rx)(r^2 - 2r + 5) = 0.
5. Так как e^(rx) не равно нулю, решаем характеристическое уравнение: r^2 - 2r + 5 = 0.
6. Решим квадратное уравнение: r = [2 ± sqrt((2)^2 - 4*1*5)] / (2*1).
7. Вычислим дискриминант: D = 4 - 20 = -16.
8. Так как дискриминант отрицательный, корни будут комплексными: r = 1 ± 2i.

Теперь, зная, что корни комплексные, общее решение имеет вид:

• y(x) = e^(αx)(C1*cos(βx) + C2*sin(βx)), где α = 1 и β = 2.

Подставим значения α и β:

• y(x) = e^(x)(C1*cos(2x) + C2*sin(2x)).

Используем начальное условие y(0) = 1 для нахождения констант C1 и C2.

1. Подставим x = 0: y(0) = e^(0)(C1*cos(0) + C2*sin(0)) = C1 = 1.
2. Таким образом, C1 = 1.
3. Для нахождения C2, найдем производную y'(x) и подставим в уравнение, но в данном случае можно заметить, что начальное условие не требует этого, так как у нас нет условия на производную.

Итак, частное решение задачи будет:

• y(x) = e^(x)(cos(2x)), поскольку C2 = 0 по предположению, что начальное условие не требует дополнительного условия на производную.

Таким образом, решение задачи Коши:

• y(x) = e^x * cos(2x).