Похожие вопросы
2025-09-04 18:11:13
Решите уравнение x'' – 2x' = 0
- y = C₁ + C₂e²ᵗ
- y = C₁e²ᵗ + C₂e⁻²ᵗ
- y = C₁e²ᵗ
- y = −C₁e²ᵗ
Другие предметы Колледж Дифференциальные уравнения высшая математика решение уравнения колледж Дифференциальные уравнения математический анализ методы решения учебные материалы подготовка к экзаменам студенческая математика
2025-09-04 18:11:24
Для решения дифференциального уравнения второго порядка x'' - 2x' = 0, начнем с его анализа.
Шаг 1: Приведение уравнения к характеристическому уравнению.
Рассмотрим общее решение такого уравнения. Мы можем предположить, что решение имеет вид x(t) = e^(rt), где r - корень, который мы найдем. Подставим это предположение в уравнение:
- x' = r * e^(rt)
- x'' = r² * e^(rt)
Теперь подставим x' и x'' в уравнение:
r² * e^(rt) - 2r * e^(rt) = 0.
Факторизуем e^(rt):
e^(rt) * (r² - 2r) = 0.
Поскольку e^(rt) не равно нулю, мы можем упростить уравнение до:
r² - 2r = 0.
Шаг 2: Решение характеристического уравнения.
Решим уравнение:
- r(r - 2) = 0.
Таким образом, у нас есть два корня:
- r₁ = 0
- r₂ = 2
Шаг 3: Запись общего решения.
Общее решение для данного уравнения имеет вид:
x(t) = C₁ * e^(r₁ * t) + C₂ * e^(r₂ * t),
где C₁ и C₂ - произвольные константы. Подставим найденные корни:
x(t) = C₁ * e^(0 * t) + C₂ * e^(2t) = C₁ + C₂ * e^(2t).
Шаг 4: Запись окончательного ответа.
Таким образом, общее решение уравнения x'' - 2x' = 0 имеет вид:
x(t) = C₁ + C₂ * e^(2t).
Теперь, если у вас есть дополнительные условия, например, начальные значения, вы можете подставить их, чтобы найти конкретные значения C₁ и C₂.