Похожие вопросы
2025-09-04 18:11:31
Решите уравнение y'' – 4y = 0
- y = C₁e²ˣ + C₂e⁻²ˣ
- y = C₁e²ˣ + C₂e²ˣ
- y = C₁e²ˣ
- y = −C₁e²ˣ
Другие предметы Колледж Дифференциальные уравнения второго порядка высшая математика уравнение решение колледж Дифференциальные уравнения математический анализ линейные уравнения C1 C2 экспоненциальная функция
2025-09-04 18:11:42
Для решения уравнения второго порядка y'' – 4y = 0, начнем с поиска характеристического уравнения. Это уравнение можно записать в виде:
1. Характеристическое уравнение:
Мы предполагаем, что решение имеет вид y = e^(rx), где r - это корень характеристического уравнения. Подставим это предположение в исходное уравнение:
y'' = r²e^(rx),
y = e^(rx).
Подставляя в уравнение, получаем:
r²e^(rx) - 4e^(rx) = 0.
Факторизуем:
e^(rx)(r² - 4) = 0.
Так как e^(rx) не равно нулю для всех x, мы получаем характеристическое уравнение:
r² - 4 = 0.
2. Решение характеристического уравнения:
Решим это уравнение:
- r² = 4
- r = ±2
Таким образом, у нас есть два корня: r₁ = 2 и r₂ = -2.
3. Общее решение уравнения:
Общее решение линейного однородного уравнения второго порядка имеет вид:
y = C₁e^(r₁x) + C₂e^(r₂x),
где C₁ и C₂ - произвольные константы. Подставляя найденные корни, получаем:
y = C₁e^(2x) + C₂e^(-2x).
4. Проверка и интерпретация:
Теперь, если вы видите выражение y = -C₁e^(2x), это может быть ошибкой или недоразумением, так как это не соответствует общему решению, которое мы нашли. Правильное общее решение уравнения y'' – 4y = 0 является:
y = C₁e^(2x) + C₂e^(-2x).
Таким образом, мы завершили решение данного уравнения. Если у вас есть конкретные начальные условия, мы можем найти значения C₁ и C₂, но без дополнительных данных мы оставляем ответ в общем виде.