Чтобы составить уравнение плоскости, зная точку A(1, -1, 3),которая является основанием перпендикуляра, проведенного из начала координат (точка O(0, 0, 0)),нам нужно воспользоваться нормальным вектором. В данном случае нормальный вектор плоскости можно определить как вектор, соединяющий начало координат и точку A, то есть вектор OA.

Шаги для составления уравнения плоскости:

1. Определите нормальный вектор плоскости.
   • Вектор OA = (1 - 0, -1 - 0, 3 - 0) = (1, -1, 3).
2. Используйте уравнение плоскости в общем виде.
   • Общее уравнение плоскости имеет вид: Ax + By + Cz + D = 0, где (A, B, C) — компоненты нормального вектора.
3. Подставьте компоненты нормального вектора в уравнение плоскости.
   • В данном случае A = 1, B = -1, C = 3, поэтому уравнение плоскости будет: 1*x + (-1)*y + 3*z + D = 0, или x - y + 3z + D = 0.
4. Найдите D, используя точку A(1, -1, 3).
   • Подставьте координаты точки A в уравнение плоскости: 1*1 - 1*(-1) + 3*3 + D = 0.
   • Выполните вычисления: 1 + 1 + 9 + D = 0.
   • Получите: 11 + D = 0.
   • Следовательно, D = -11.
5. Запишите окончательное уравнение плоскости.
   • Подставьте найденное значение D в уравнение: x - y + 3z - 11 = 0.

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точку A(1, -1, 3) и перпендикулярной вектору, соединяющему начало координат с этой точкой, будет: x - y + 3z - 11 = 0.