Чтобы найти общее решение дифференциального уравнения вида y' − y / x = x ⋅ 1 / cos²x, мы можем использовать метод интегрирующего множителя. Это уравнение имеет вид линейного дифференциального уравнения первого порядка:

y' + P(x)y = Q(x),

где P(x) = -1/x и Q(x) = x / cos²x.

Шаги решения:

1. Найти интегрирующий множитель: Интегрирующий множитель μ(x) определяется как e^(∫P(x)dx). В нашем случае:

• ∫P(x)dx = ∫(-1/x)dx = -ln|x|.
• Следовательно, μ(x) = e^(-ln|x|) = 1/|x|.

2. Умножить уравнение на интегрирующий множитель: Умножаем все части уравнения на μ(x):

• (1/|x|)y' - (1/|x|)(y/x) = (1/|x|)(x / cos²x).

3. Переписать уравнение в виде полной производной: Это уравнение можно переписать как:

• d/dx(y/|x|) = (1/|x|)(x / cos²x).

4. Интегрировать обе части: Интегрируем обе части уравнения:

• ∫d/dx(y/|x|)dx = ∫(1/|x|)(x / cos²x)dx.
• Левая часть интегрируется как просто y/|x|.
• Правая часть упрощается до ∫1/cos²x dx = ∫sec²x dx = tan(x) + C.

5. Записать общее решение: Таким образом, получаем:

• y/|x| = tan(x) + C.
• Умножаем обе части на |x|, чтобы выразить y:
• y = |x|(tan(x) + C).

Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения. Обратите внимание, что интегрирующий множитель был записан как 1/|x|, но в зависимости от области определения x, можно рассматривать просто x, если x не меняет знак.