Уравнение y' +2y=4 при условии y(0)=5 имеет частное решение…

• y=3e⁻²ˣ+5
• y=3e⁻²ˣ+2
• y=3e⁻²ˣ

Другие предметы Колледж Дифференциальные уравнения уравнение Дифференциальное уравнение частное решение математика колледж y' + 2y = 4 начальное условие решение уравнения математические методы анализ уравнений колледж математика Новый

Чтобы найти частное решение уравнения y' + 2y = 4 с начальным условием y(0) = 5, давайте сначала решим это дифференциальное уравнение.

Шаг 1: Найдем общее решение однородного уравнения.

Однородное уравнение выглядит так: y' + 2y = 0. Мы можем решить его, используя метод разделения переменных или заметив, что это линейное уравнение первого порядка.

• Запишем уравнение в виде: y' = -2y.
• Теперь разделим переменные: dy/y = -2dx.
• Интегрируем обе стороны: ∫(1/y) dy = ∫-2 dx.
• Получаем: ln|y| = -2x + C, где C - константа интегрирования.
• Возводим обе стороны в степень: y = e^(-2x + C) = e^C * e^(-2x).

Обозначим e^C как K, где K - произвольная константа. Таким образом, общее решение однородного уравнения будет:

y_h = K * e^(-2x).

Шаг 2: Найдем частное решение неоднородного уравнения.

Теперь найдем частное решение для уравнения y' + 2y = 4. Мы можем предположить, что частное решение имеет вид постоянной функции, так как правая часть уравнения - это константа.

Предположим, что y_p = A, где A - некоторая константа.

Подставим y_p в уравнение:

• y' = 0 (так как A - константа),
• Подставляем в уравнение: 0 + 2A = 4.
• Отсюда 2A = 4, следовательно, A = 2.

Таким образом, частное решение будет:

y_p = 2.

Шаг 3: Общее решение уравнения.

Теперь мы можем записать общее решение нашего уравнения:

y = y_h + y_p = K * e^(-2x) + 2.

Шаг 4: Применим начальное условие.

Теперь воспользуемся начальным условием y(0) = 5:

• Подставим x = 0: y(0) = K * e^(0) + 2 = K + 2.
• Приравниваем к 5: K + 2 = 5.
• Отсюда K = 3.

Таким образом, окончательное решение будет:

y = 3 * e^(-2x) + 2.

Ответ: Частное решение уравнения y' + 2y = 4 с начальным условием y(0) = 5 имеет вид:

y = 3 * e^(-2x) + 2.