Похожие вопросы
2025-09-15 20:36:07
Уравнение y' +2y=4 при условии y(0)=5 имеет частное решение…
- y=3e⁻²ˣ+5
- y=3e⁻²ˣ+2
- y=3e⁻²ˣ
Другие предметы Колледж Дифференциальные уравнения уравнение решение математика колледж Дифференциальные уравнения частное решение y' y y(0)=5 4
2025-09-15 20:36:20
Для решения уравнения y' + 2y = 4 с начальным условием y(0) = 5, мы будем использовать метод интегрирующего множителя.
Шаг 1: Найдем интегрирующий множитель.
Уравнение имеет вид:
y' + P(x)y = Q(x),
где P(x) = 2, а Q(x) = 4.
Интегрирующий множитель μ(x) вычисляется по формуле:
μ(x) = e^(∫P(x)dx) = e^(∫2dx) = e^(2x).
Шаг 2: Умножим уравнение на интегрирующий множитель.
Умножим все уравнение на e^(2x):
e^(2x)y' + 2e^(2x)y = 4e^(2x).
Шаг 3: Преобразуем левую часть уравнения.
Левую часть можно представить как производную:
(e^(2x)y)' = 4e^(2x).
Шаг 4: Интегрируем обе стороны.
Интегрируем:
∫(e^(2x)y)'dx = ∫4e^(2x)dx.
Получаем:
e^(2x)y = 2e^(2x) + C,
где C - произвольная константа.
Шаг 5: Решим для y.
Теперь выразим y:
y = 2 + Ce^(-2x).
Шаг 6: Найдем константу C, используя начальное условие.
Подставим начальное условие y(0) = 5:
5 = 2 + Ce^(0),
5 = 2 + C.
Отсюда C = 3.
Шаг 7: Запишем окончательное решение.
Таким образом, общее решение имеет вид:
y = 2 + 3e^(-2x).
Однако, если мы хотим выразить это в другом виде, то:
y = 3e^(-2x) + 2.
Теперь, если мы посмотрим на предложенные варианты, правильное частное решение будет:
y = 3e^(-2x) + 2.